Problema 457

Dado el sistema de ecuaciones siguiente:

\left\{\begin{array}{rl}2x+(a-1)y-2z&=a\\2x+y-az&=2\\-x+y+z&=1-a\end{array}\right.

se pide:

a) Discutirlo según los valores del parámetro a.
b) Resolverlo cuando sea posible.


Solución:

a) Para discutir un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}2&a-1&-2\\2&1&-a\\-1&1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&a-1&-2&a\\2&1&-a&2\\-1&1&1&1-a\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de M:

\begin{vmatrix}2&a-1&-2\\2&1&-a\\-1&1&1\end{vmatrix}=2+a(a-1)-4-2-2(a-1)+2a=a^2-a-2

determinante cuyas raíces son a=-1, a=2, por tanto:

  • Si a≠-1 y a≠2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, luego el sistema es compatible determinado.
  • Si a=-1, entonces M=\begin{pmatrix}2&-2&-2\\2&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&1\\-1&1\end{vmatrix}=3\neq0.
    Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}2&-2&-1\\2&1&2\\-1&1&2\end{vmatrix}=4+4-2-1+8-4=9\neq0
    luego, el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema incompatible.
  • Si a=2, entonces M=\begin{pmatrix}2&1&-2\\2&1&-2\\-1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&1\\-1&1\end{vmatrix}=3\neq0.
    Veamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}2&1&2\\2&1&2\\-1&1&-1\end{vmatrix}=-2-2+4+2+2-4=0
    luego, el rango de la matriz ampliada también es 2 y el sistema es compatible indeterminado.

b) Si a≠-1 y a≠2, el sistema es compatible determinado como se vio en el apartado anterior.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}a&a-1&-2\\2&1&-a\\1-a&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&a-1&-2\\2&1&-a\\-1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{a^3-a^2-2a}{a^2-a-2}=\dfrac{a(a+1)(a-2)}{(a+1)(a-2)}=a

y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&a&-2\\2&2&-a\\-1&1-a&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&a-1&-2\\2&1&-a\\-1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{-a^2+4a-4}{a^2-a-2}=\dfrac{-(a-2)^2}{(a+1)(a-2)}=\dfrac{-a+2}{a+1}

z=\dfrac{\begin{vmatrix}2&a-1&a\\2&1&2\\-1&1&1-a\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&a-1&-2\\2&1&-a\\-1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{2a^2-5a+2}{a^2-a-2}=\dfrac{(a-2)(2a-1)}{(a+1)(a-2)}=\dfrac{2a-1}{a+1}

Luego, si a≠-1 y a≠2, la solución del sistema es (x,y,z)=(a,\frac{-a+2}{a+1},\frac{2a-1}{a+1}).

Si a=2, el sistema es compatible indeterminado.
En este caso el sistema solo tenía 2 ecuaciones linealmente independientes ya que el rango de las matrices de coeficientes y ampliada son 2.
El sistema a resolver es:

\left\{\begin{array}{rl}2x+y-2z&=2\\-x+y+z&=-1\end{array}\right.

Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{rl}2x+y&=2+2\lambda\\-x+y&=-1-\lambda\end{array}\right.

Si a la ecuación de arriba le restamos la de abajo obtenemos:

3x=3+3\lambda~;\\x=1+\lambda

Sustituyendo este valor de x en la segunda ecuación:

-(1+\lambda)+y=-1-\lambda~;\\\\y=0

Luego, si a=2 la solución es (x,y,z)=(1+\lambda,0,\lambda).

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