Dado el sistema de ecuaciones siguiente:
se pide:
a) Discutirlo según los valores del parámetro a.
b) Resolverlo cuando sea posible.
Solución:
a) Para discutir un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:
Calculamos el determinante de M:
determinante cuyas raíces son a=-1, a=2, por tanto:
- Si a≠-1 y a≠2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, luego el sistema es compatible determinado.
- Si a=-1, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
luego, el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema incompatible. - Si a=2, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Veamos el rango de la matriz ampliada:
luego, el rango de la matriz ampliada también es 2 y el sistema es compatible indeterminado.
b) Si a≠-1 y a≠2, el sistema es compatible determinado como se vio en el apartado anterior.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:
Luego, si a≠-1 y a≠2, la solución del sistema es
Si a=2, el sistema es compatible indeterminado.
En este caso el sistema solo tenía 2 ecuaciones linealmente independientes ya que el rango de las matrices de coeficientes y ampliada son 2.
El sistema a resolver es:
Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:
Si a la ecuación de arriba le restamos la de abajo obtenemos:
Sustituyendo este valor de x en la segunda ecuación:
Luego, si a=2 la solución es
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