Problema 458

Dada la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac1{5-x}&\mbox{si}&x\leq0\\\\\dfrac1{5+x}&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

se pide:

a) Estudiar la continuidad de f y determinar sus asíntotas.
b) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f'(x) donde sea posible.
c) Calcular \displaystyle\int_{-1}^1f(x)~dx.


Solución:

a) Estudiamos la continuidad en x=0.

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac1{5+x}=\dfrac15\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac1{5-x}=\dfrac15\\\bullet~f(0)=\dfrac1{5-0}=\dfrac15

luego, la función es continua en x=0.

Como el dominio de esta función es todo \mathbb R y es continua en todo su dominio, la función no tiene asíntota vertical.

  • Asíntota horizontal.
    \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{5+x}=0\\\\\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1{5-x}=0
    Luego tiene asíntota horizontal y su ecuación es y=0.

No tiene asíntota oblicua ya que tiene asíntota horizontal.


b) Calculamos la función derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{1}{(5-x)^2}&\mbox{si}&x<0\\\dfrac{-1}{(5+x)^2}&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

Y estudiamos la derivabilidad en x=0:

\displaystyle\bullet~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{-1}{(5+x)^2}=\dfrac{-1}{25}\\\bullet~f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{1}{(5-x)^2}=\dfrac{1}{25}

Luego, la función f no es derivable en x=0.


c) Esta función tiene simetría par ya que:

f(-x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac1{5-(-x)}&\mbox{si}&-x\leq0\\\\\dfrac1{5+(-x)}&\mbox{si}&-x>0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac1{5+x}&\mbox{si}&x\geq0\\\\\dfrac1{5-x}&\mbox{si}&x<0\end{array}\right.=f(x)

luego

\displaystyle\int_{-1}^1f(x)~dx=2\int_0^1f(x)~dx=2\int_0^1\dfrac1{5+x}~dx=2[\ln|5+x|]_0^1=\\\\=2[\ln6-\ln5]=2\ln\dfrac65\approx0.365

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