Problema 459

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Sea π el plano que contiene a los puntos A(0,2,1), B(1,0,1) y C(-1,-2,-1). Calcule el volumen del tetraedro que forma el origen de coordenadas con los puntos de intersección de π con cada uno de los ejes coordenados.

Solución:

Comenzamos calculando la ecuación implícita del plano π, estando formado por:

\pi:~\left\{\begin{array}{l}A=(0,2,1)\\\overrightarrow{AB}=(1,0,1)-(0,2,1)=(1,-2,0)\\\overrightarrow{AC}=(-1,-2,-1)-(0,2,1)=(-1,-4,-2)\end{array}\right.

\begin{vmatrix}x&y-2&z-1\\1&-2&0\\-1&-4&-2\end{vmatrix}=4x-4(z-1)-2(z-1)+2(y-2)=4x+2y-6z+2

Simplificando el resultado anterior tenemos la ecuación implícita \pi:~2x+y-3z+1=0.

p459

Calculamos ahora donde corta este plano a los ejes coordenados:

A=\pi\cap\mbox{eje }x\\B=\pi\cap\mbox{eje }y\\C=\pi\cap\mbox{eje }z

A=\left\{\begin{array}{r}2x+y-3z+1=0\\y=0\\z=0\end{array}\right.\\\\A=(\frac{-1}2,0,0)

B=\left\{\begin{array}{r}2x+y-3z+1=0\\x=0\\z=0\end{array}\right.\\\\B=(0,-1,0)

C=\left\{\begin{array}{r}2x+y-3z+1=0\\x=0\\y=0\end{array}\right.\\\\C=(0,0,\frac13)

Con estos tres puntos y el origen de coordenadas O(0,0,0) se forma un tetraedro cuyo volumen es:

\boxed{V=\dfrac16|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]|}

siendo \overrightarrow{OA}=(\frac{-1}2,0,0),\,\overrightarrow{OB}=(0,-1,0),\,\overrightarrow{OC}=(0,0,\frac13).

[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]=\begin{vmatrix}\frac{-1}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&\frac13\end{vmatrix}=\dfrac16

luego el volumen es V=\dfrac16\cdot\dfrac16=\dfrac1{36}\mbox{ u.v.}

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