Problema 460

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Dado el plano \pi\equiv3x+3y+z-9=0, se pide:

a) Determinar la ecuación del plano perpendicular a π que contiene al eje OX.
b) Determinar el punto del plano π más cercano al origen de coordenadas.

Solución:

a) El plano α está formado por un punto y dos vectores.
Por contener al eje OX, el plano α pasa por el punto O(0,0,0) y tiene por vector director el vector \vec\imath=(1,0,0).
Por ser perpendicular a π, el otro vector director de α es el vector normal del plano π: \vec n_\pi=(3,3,1).

Podemos calcular ya la ecuación general de α:

\begin{vmatrix}x&y&z\\1&0&0\\3&3&1\end{vmatrix}=3z-y

El plano buscado es: \alpha:~y-3z=0.

b) El punto de un plano más cercano a otro punto exterior a dicho plano, es la proyección de este punto exterior sobre el plano.
Para calcular la proyección P de O(0,0,0) sobre el plano π, construimos una recta r perpendicular a π que pase por O.
Por ser perpendicular a π, el vector director de r será el vector normal de π, esto es, \vec v_r=\vec n_\pi=(3,3,1). Luego las ecuaciones paramétricas de r son:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=3\lambda\\y=3\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

La proyección de O sobre π es el punto de intersección entre r y π: P=r\cap\pi.
Para calcular dicha intersección sustituimos las paramétricas de r en la implícita del plano.

3\cdot3\lambda+3\cdot3\lambda+\lambda-9=0~;\\\\19\lambda-9=0~;\\\\\lambda=\dfrac9{19}

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos la proyección buscada:

P=(\frac{27}{19},\frac{27}{19},\frac{9}{19})

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