Problema 461

Dada la función

f(x)=\dfrac x{x^2-4}+\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}

donde ln denota logaritmo neperiano, se pide:

a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas.
b) Calcular la recta tangente a la curva y=f(x) en x=0.
c) Calcular \displaystyle\int f(x)~dx.


Solución:

a) Primero calculamos el dominio.
Los denominadores no pueden valer 0, luego calculamos aquellos valores de x que hacen 0 los denominadores:

x^2-4=0\longrightarrow x=\pm2\\\\x+1=0\longrightarrow x=-1

Por otra parte, los logaritmos solo están definidos para valores positivos, luego:

x+1>0\longrightarrow x>-1

Teniendo en cuenta las condiciones anteriores, el dominio de f es: \mbox{Dom}(f)=(-1,2)\cup(2,+\infty).

Estudiamos ahora las asíntotas.

  • Asíntota vertical en x=-1.
    \displaystyle\circ\lim_{x\rightarrow-1^+}\left(\dfrac x{x^2-4}+\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\right)=\dfrac{-1}{-3}+\dfrac{-\infty}{0^+}=-\infty
    Luego, tenemos una asíntota vertical x=-1.
  • Asíntota vertical en x=2.
    \displaystyle\circ\lim_{x\rightarrow2^+}\left(\dfrac x{x^2-4}+\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\right)=\dfrac2{0^+}+\dfrac{\ln(3)}3=+\infty\\\\\circ\lim_{x\rightarrow2^-}\left(\dfrac x{x^2-4}+\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\right)=\dfrac2{0^-}+\dfrac{\ln(3)}3=-\infty
    Luego, x=2 también es una asíntota vertical.
  • Asíntota horizontal.
    \displaystyle\circ\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac x{x^2-4}+\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac x{x^2-4}+\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=\dfrac{\infty}{\infty}+\dfrac{\infty}{\infty}=
    Apliclamos la regla de L’Hôpital a cada límite:
    \displaystyle\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{2x}+\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\frac1{x+1}}1=0
    Tiene, por tanto, asíntota horizontal de ecuación y=0.

No tiene asíntota oblicua.


b) La ecuación de la recta tangente a una función f en un punto x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso, hemos de calcular la recta tangente a f en x=0:

f(0)=\dfrac 0{0^2-4}+\dfrac{\ln(0+1)}{0+1}=0+0=0

f'(x)=\dfrac{x^2-4-x\cdot2x}{(x^2-4)^2}+\dfrac{\frac1{x+1}(x+1)-\ln(x+1)}{(x+1)^2}

f'(0)=\dfrac{-4}{16}+\dfrac11=\dfrac{12}{16}=\dfrac34

Luego la recta tangente es:

y-0=\dfrac34(x-0)~;\\\\y=\dfrac{3x}4


c) Calcular \displaystyle\int f(x)~dx.

\displaystyle\int\left(\dfrac x{x^2-4}+\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\right)~dx=\int\dfrac x{x^2-4}~dx+\int\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}~dx

Son dos integrales inmediatas, la primera de tipo logarítmico y la segunda de tipo potencial:

\displaystyle\int\dfrac x{x^2-4}~dx+\int\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}~dx=\dfrac12\int\dfrac{2x}{x^2-4}~dx+\int\ln(x+1)\dfrac1{x+1}~dx=\\\\=\dfrac12\ln|x^2-4|+\dfrac{\ln^2(x+1)}2+k

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