Problema 462

a)Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones siguiente:

$\left\{\begin{array}{rl}4x+3y+(m-1)z&=0\\x-2y+mz&=1\\5x+my+z&=1\end{array}\right.$

b) Resolver el sistema anterior para el caso m=1.

Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

$M=\begin{pmatrix}4&3&m-1\\1&-2&m\\5&m&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}4&3&m-1&0\\1&-2&m&1\\5&m&1&1\end{pmatrix}$

Veamos cual es el rango de la matriz de coeficientes:

$\begin{vmatrix}4&3&m-1\\1&-2&m\\5&m&1\end{vmatrix}=-3m^2+24m-21$

determinante cuyas raíces son m=1 y m=7. Por tanto:

Si m≠1 y m≠7, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
Si m=1, entonces $M=\begin{pmatrix}4&3&0\\1&-2&1\\5&1&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}3&0\\-2&1\end{vmatrix}=3\neq0$ .
Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada en este caso:
$\begin{vmatrix}3&0&0\\-2&1&1\\1&1&1\end{vmatrix}=0$
Luego, el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado.
Si m=7, entonces $M=\begin{pmatrix}4&3&6\\1&-2&7\\5&7&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}4&3\\1&-2\end{vmatrix}\neq0$
Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}4&3&0\\1&-2&1\\5&7&1\end{vmatrix}=-8+15-3-28\neq0$
Luego, el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.