Problema 462

a)Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones siguiente:

\left\{\begin{array}{rl}4x+3y+(m-1)z&=0\\x-2y+mz&=1\\5x+my+z&=1\end{array}\right.

b) Resolver el sistema anterior para el caso m=1.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}4&3&m-1\\1&-2&m\\5&m&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}4&3&m-1&0\\1&-2&m&1\\5&m&1&1\end{pmatrix}

Veamos cual es el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}4&3&m-1\\1&-2&m\\5&m&1\end{vmatrix}=-3m^2+24m-21

determinante cuyas raíces son m=1 y m=7. Por tanto:

  • Si m≠1 y m≠7, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=1, entonces M=\begin{pmatrix}4&3&0\\1&-2&1\\5&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}3&0\\-2&1\end{vmatrix}=3\neq0.
    Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada en este caso:
    \begin{vmatrix}3&0&0\\-2&1&1\\1&1&1\end{vmatrix}=0
    Luego, el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=7, entonces M=\begin{pmatrix}4&3&6\\1&-2&7\\5&7&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}4&3\\1&-2\end{vmatrix}\neq0
    Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}4&3&0\\1&-2&1\\5&7&1\end{vmatrix}=-8+15-3-28\neq0
    Luego, el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.

b) En el caso m=1, el sistema es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}4x+3y&=0\\x-2y+z&=1\end{array}\right.

Hacemos el cambio x=λ:

\left\{\begin{array}{rl}3y&=-4\lambda\\-2y+z&=1-\lambda\end{array}\right.

Luego, y=\dfrac{-4\lambda}3, y:

z=1-\lambda+2\dfrac{-4\lambda}3=\dfrac{3-3\lambda-8\lambda}3=\dfrac{3-11\lambda}3

Es decir, para m=1, la solución del sistema es: (x,y,z)=(\lambda,\frac{-4\lambda}3,\frac{3-11\lambda}3).

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