a)Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones siguiente:
b) Resolver el sistema anterior para el caso m=1.
Solución:
a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:
Veamos cual es el rango de la matriz de coeficientes:
determinante cuyas raíces son m=1 y m=7. Por tanto:
- Si m≠1 y m≠7, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si m=1, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada en este caso:
Luego, el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado. - Si m=7, entonces
cuyo rango es 2 ya que
Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
Luego, el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.
b) En el caso m=1, el sistema es equivalente a:
Hacemos el cambio x=λ:
Luego, , y:
Es decir, para m=1, la solución del sistema es: .
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