Problema 463

a) Dados los vectores \vec u=(2,3,4),\,\vec v=(-1,-1,-1)\mbox{ y }\vec w=(-1,\lambda,-5), encontrar los valores de λ que hacen que el paralelepípedo P generado por \vec u,\,\vec v\mbox{ y }\vec w tenga volumen 6.

b) Obtener la ecuación de la recta incluida en el plano z=0, con dirección perpendicular a \vec u=(2,-1,4) y que pasa por el punto (1,1,0).


Solución:

paralelepipedoa) El volumen de un paralelepípedo es el módulo del producto mixto de los tres vectores directores que lo forman:

\boxed{V=|[\vec u,\vec v,\vec w]|}

En nuestro caso:

[\vec u,\vec v,\vec w]=\begin{vmatrix}2&3&4\\-1&-1&-1\\-1&\lambda&-5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-2&3&-4\\1&-1&1\\1&\lambda&5\end{vmatrix}=\\\\=10+3-4\lambda-4-15+2\lambda=-2\lambda-6

Como el volumen es 6, entonces |-2\lambda-6|=6, de donde:

  • -2\lambda-6=6\longrightarrow\lambda=-6
  • 2\lambda+6=6\longrightarrow\lambda=0

b) El plano \pi:~2x-y+4z+D=0 es perpendicular al vector \vec u=(2,-1,4), por lo que cualquier recta incluida en dicho plano será perpendicular a \vec u.
La recta que buscamos r ha de estar incluida en este plano π.
Si la recta r pasa por el punto (1,1,0) el plano π también pasará por ese punto, luego:

2\cdot1-1+4\cdot0+D=0~;\\\\2-1+D=0~;\\\\D=-1

El plano π es, por tanto, \pi:~2x-y+4z-1=0.
Como la recta r ha de estar en el plano z=0 también, entonces:

r\equiv\left\{\begin{array}{rl}2x-y+4z-1&=0\\z&=0\end{array}\right.

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