Problema 463

a) Dados los vectores $\vec u=(2,3,4),\,\vec v=(-1,-1,-1)\mbox{ y }\vec w=(-1,\lambda,-5)$ , encontrar los valores de λ que hacen que el paralelepípedo P generado por $\vec u,\,\vec v\mbox{ y }\vec w$ tenga volumen 6.

b) Obtener la ecuación de la recta incluida en el plano z=0, con dirección perpendicular a $\vec u=(2,-1,4)$ y que pasa por el punto (1,1,0).

Solución:

paralelepipedo a) El volumen de un paralelepípedo es el módulo del producto mixto de los tres vectores directores que lo forman:

$\boxed{V=|[\vec u,\vec v,\vec w]|}$

En nuestro caso:

$[\vec u,\vec v,\vec w]=\begin{vmatrix}2&3&4\\-1&-1&-1\\-1&\lambda&-5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-2&3&-4\\1&-1&1\\1&\lambda&5\end{vmatrix}=\\\\=10+3-4\lambda-4-15+2\lambda=-2\lambda-6$

Como el volumen es 6, entonces $|-2\lambda-6|=6$ , de donde:

$-2\lambda-6=6\longrightarrow\lambda=-6$
$2\lambda+6=6\longrightarrow\lambda=0$

b) El plano $\pi:~2x-y+4z+D=0$ es perpendicular al vector $\vec u=(2,-1,4)$ , por lo que cualquier recta incluida en dicho plano será perpendicular a $\vec u$ .
La recta que buscamos r ha de estar incluida en este plano π.
Si la recta r pasa por el punto (1,1,0) el plano π también pasará por ese punto, luego: