Problema 464

Dados el plano \pi\equiv~x-2y+2z+1=0 y la superficie esférica (x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9, hallar los planos tangentes a la esfera que son paralelos al plano π.


Solución:

La ecuación de una superficie esferica es:

\boxed{(x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=R^2}

donde C=(x_c,y_c,z_c) es el centro de la superficie y R su radio.

En nuestro caso, la superficie esférica tiene centro C=(1,1,2) y radio R=3.
Construimos un plano α paralelo a π que pase por C.
Por ser paralelo a π:

\alpha:~x-2y+2z+D=0

y por pasar por C:

1-2\cdot1+2\cdot2+D=0~;\\\\1-2+4+D=0~;\\\\D=-3

luego, \alpha:~x-2y+2z-3=0.

Los planos paralelos a π que son tangentes a la superficie esférica son aquellos que distan 3 unidades del plano α ya que 3 es el radio de la superficie esférica. Los llamaremos \alpha_1\mbox{ y }\alpha_2.
Recordamos la fórmula de la distancia de dos planos paralelos.
Sabiendo que dicha distancia ha de ser 3 y que α tiene valores A=1,\,B=-2,\,C=2,\,D=-3:

d(\alpha,\alpha_1)=3=\dfrac{|D_1-(-3)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}~;\\\\3=\dfrac{|D_1+3|}{\sqrt9}~;\\\\9=|D_1+3|

Esta última ecuación tiene en realidad dos soluciones D_1\mbox{ y }D_2:

  • 9=D_1+3\longrightarrow D_1=6
  • 9=-D_2-3\longrightarrow D_2=-12

Luego los dos planos buscados son:

\alpha_1:~x-2y+2z+6=0\\\\\alpha_2:~x-2y+2z-12=0

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