Problema 464

Dados el plano y la superficie esférica , hallar los planos tangentes a la esfera que son paralelos al plano π.


Solución:

La ecuación de una superficie esferica es:

donde es el centro de la superficie y R su radio.

En nuestro caso, la superficie esférica tiene centro y radio R=3.
Construimos un plano α paralelo a π que pase por C.
Por ser paralelo a π:

y por pasar por C:

luego, .

Los planos paralelos a π que son tangentes a la superficie esférica son aquellos que distan 3 unidades del plano α ya que 3 es el radio de la superficie esférica. Los llamaremos .
Recordamos la fórmula de la distancia de dos planos paralelos.
Sabiendo que dicha distancia ha de ser 3 y que α tiene valores :

Esta última ecuación tiene en realidad dos soluciones :

Luego los dos planos buscados son:

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