Problema 465

Dados el punto P(-4,6,6), el origen de coordenadas O, y la recta

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=-4+4\lambda\\y=8+3\lambda\\z=-2\lambda\end{array}\right.

se pide:

a) Determinar un punto Q de la recta r, de modo que su proyección Q´ sobre \overline{OP} sea el punto medio de este segmento.
b) Determinar la distancia de P a r.
c) ¿Existe algún punto R de la recta r, de modo que los puntos O, P y R estén alineados? En caso afirmativo, encontrar el punto (o los puntos) con esa propiedad o, en caso negativo, justificar la no existencia.


Solución:

a) Es decir, que Q´ es el punto medio entre los puntos O y P. Utilizamos la fórmula del punto medio para calcularlo:

Q'=\dfrac{O+P}2=\dfrac{(0,0,0)+(-4,6,6)}2=(-2,3,3)

Ahora calculamos un plano α que pase por Q´ y que sea perpendicular al segmento \overline{OP}. Para que se cumpla esto último, el vector normal de dicho plano, \vec n_\pi, ha de ser proporcional al vector \overrightarrow{OP}=(-4,6,6):

\vec n_\pi=(-2,3,3)

Luego, el plano α tiene la forma -2x+3y+3z+D=0.
Hacemos que este plano pase por Q´:

-2\cdot(-2)+3\cdot3+3\cdot3+D=0~;\\\\4+9+9+D=0~;\\\\D=-22

Por tanto, el plano es \alpha:~-2x+3y+3z-22=0

Ahora calculamos la intersección del plano α con la recta r, que será el punto Q que se pide. Para ello, sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano y resolvemos:

-2\cdot(-4+4\lambda)+3\cdot(8+3\lambda)+3\cdot(-2\lambda)-22=0~;\\\\8-8\lambda+24+9\lambda-6\lambda=22~;\\\\-5\lambda=-10~;\\\\\lambda=2

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos el punto Q=(4,14,-4)


b) Para calcular la distancia de un punto a una recta necesitamos, según se explica aquí, un punto cualquiera de la recta P_r=(-4,8,0) y su vector director \vec v_r=(4,3,-2).
Calculamos \overrightarrow{PP_r}=(-4,8,0)-(-4,6,6)=(0,2,-6)

\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\4&3&-2\\0&2&-6\end{vmatrix}=-18\vec\imath+8\vec k+24\vec\jmath+4\vec\imath=(-14,24,8)

Luego, la distancia es:

d(P,r)=\dfrac{\sqrt{(-14)^2+24^2+8^2}}{\sqrt{4^2+3^2+(-2)^2}}=\sqrt{\dfrac{836}{29}}\approx5.37\mbox{ u.l.}


c) Si los puntos P, O y R están alineados entonces los vectores \overrightarrow{OP}\mbox{ y }\overrightarrow{OR} son paralelos.
Sean los vectores

\overrightarrow{OP}=(-4,6,6)-(0,0,0)=(-4,6,6)\\\overrightarrow{OR}=(-4+4\lambda,8+3\lambda,-2\lambda)-(0,0,0)=(-4+4\lambda,8+3\lambda,-2\lambda)

les aplicamos la condición de paralelismo:

\dfrac{-4+4\lambda}{-4}=\dfrac{8+3\lambda}6=\dfrac{-2\lambda}6

De la primera igualdad se obtiene:

\dfrac{-4+4\lambda}{-4}=\dfrac{8+3\lambda}6~;\\\\1-\lambda=\dfrac{8+3\lambda}6~;\\\\6-6\lambda=8+3\lambda~;\\\\-2=9\lambda~;\\\\\lambda=\dfrac{-2}9

De la segunda igualdad se obtiene:

\dfrac{8+3\lambda}6=\dfrac{-2\lambda}6~;\\\\5\lambda=-8~;\\\\\lambda=\dfrac{-8}5

Como no coinciden los valores de λ para las dos igualdades, se deduce que no existe un punto R perteneciente a la recta r que esté alineado con O y con P.

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