Problema 466

Dada la función:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\mbox{sen}x}x&\mbox{si}&x<0\\\\xe^x+1&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.$

se pide:

a) Estudiar la continuidad de f.
b) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f´ donde sea posible.
c) Calcular $\displaystyle\int_1^3f(x)~dx$

Solución:

a) Estudiamos la coninuidad de f en x=0:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}xe^x+1=1$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\mbox{sen}x}x=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\cos x}1=1$
$f(0)=0e^0+1=1$

Luego f es continua en $\mathbb R$ y en particular en x=0.

b) Calculamos la función derivada de f:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{x\cos x-\mbox{sen}x}{x^2}&\mbox{si}&x<0\\\\e^x+xe^x&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.$

Y ahora estudiamos la derivabilidad de f en x=0:

$\displaystyle\bullet~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}e^x+xe^x=1\\\\\bullet~f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{x\cos x-\mbox{sen}x}{x^2}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\cos x-x\mbox{sen}x-\cos x}{2x}=\\\\=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{-\mbox{sen}x-\mbox{sen}x-x\cos x+\mbox{sen}x}2=0$