Problema 466

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II,

Dada la función:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\mbox{sen}x}x&\mbox{si}&x<0\\\\xe^x+1&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.

se pide:

a) Estudiar la continuidad de f.
b) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f´ donde sea posible.
c) Calcular \displaystyle\int_1^3f(x)~dx

Solución:

a) Estudiamos la coninuidad de f en x=0:

  • \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}xe^x+1=1
  • \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\mbox{sen}x}x=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\cos x}1=1
  • f(0)=0e^0+1=1

Luego f es continua en \mathbb R y en particular en x=0.

b) Calculamos la función derivada de f:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{x\cos x-\mbox{sen}x}{x^2}&\mbox{si}&x<0\\\\e^x+xe^x&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

Y ahora estudiamos la derivabilidad de f en x=0:

\displaystyle\bullet~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}e^x+xe^x=1\\\\\bullet~f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{x\cos x-\mbox{sen}x}{x^2}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\cos x-x\mbox{sen}x-\cos x}{2x}=\\\\=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{-\mbox{sen}x-\mbox{sen}x-x\cos x+\mbox{sen}x}2=0

Luego f no es derivable en x=0.

c) Calcular:

\displaystyle I=\int_1^3f(x)~dx=\int_1^3(xe^x+1)~dx=\int_1^3xe^x~dx+\int_1^31~dx

La primera integral la resolvemos por el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=x&\longrightarrow&du=dx\\dv=e^x~dx&\longrightarrow&v=e^x\end{array}

luego

\displaystyle I=\int_1^3xe^x~dx+\int_1^31~dx=xe^x\Big]_1^3-\int_1^3e^x~dx+x\Big]_1^3=\Big[xe^x-e^x+x\Big]_1^3=\\\\=(3e^3-e^3+3)-(1e^1-e^1+1)=2e^3+2

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