Problema 467

Dadas las matrices

$A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}$

se pide:

a) Calcular $A^{15}\mbox{ y }A^{20}$ .
b) Resolver la ecuación matricial $6X=B-3AX$ , donce X es una matriz cuadrada de orden 3.

Solución:

a) Comenzamos calculando todas las potencias de A:

$A^2=AA=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I$

Como hemos llegado a una potencia de A cuyo resultado es I, podemos ya calcular la potencia enésima de A simplemente dividiendo el exponente que sea entre 2. Nos quedamos con el resto de la división.
En el caso $A^{15}$ , 15 dividido por 2 tiene cociente 7 y resto 1, luego

$A^{15}=A^1=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ .

En el caso $A^{20}$ , 20 dividido por 2 tiene cociente 10 y resto 0, luego

$A^{20}=A^0=I$

b) Para resolver la ecuación matricial $6X=B-3AX$ , comenzamos por despejar la matriz X:

$6X=B-3AX~;\\\\6X+3AX=B~;\\\\(6I+3A)X=B~;\\\\X=(6I+3A)^{-1}B$

Observamos que B=3I, entonces podemos escribir:

$X=3^{-1}(2I+A)^{-1}3I=(2I+A)^{-1}$

Calculamos las matrices necesarias:

$2I+A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&3&0\\1&0&2\end{pmatrix}$

Recordamos que la matriz inversa de una matriz tiene la fórmula:

$\boxed{M^{-1}=\dfrac1{|M|}(\mbox{Adj}M)^t}$

$|2I+A|=\begin{vmatrix}2&0&1\\0&3&0\\1&0&2\end{vmatrix}=12-3=9$

$\mbox{Adj}(2I+A)=\begin{pmatrix}6&0&-3\\0&3&0\\-3&0&6\end{pmatrix}$

Luego

$X=(2I+A)^{-1}=\dfrac19\begin{pmatrix}6&0&-3\\0&3&0\\-3&0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac23&0&\frac{-1}3\\0&\frac13&0\\\frac{-1}3&0&\frac23\end{pmatrix}$

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Problema 467

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