Problema 467

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II

Dadas las matrices

A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}

se pide:

a) Calcular A^{15}\mbox{ y }A^{20}.
b) Resolver la ecuación matricial 6X=B-3AX, donce X es una matriz cuadrada de orden 3.

Solución:

a) Comenzamos calculando todas las potencias de A:

A^2=AA=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I

Como hemos llegado a una potencia de A cuyo resultado es I, podemos ya calcular la potencia enésima de A simplemente dividiendo el exponente que sea entre 2. Nos quedamos con el resto de la división.
En el caso A^{15}, 15 dividido por 2 tiene cociente 7 y resto 1, luego

A^{15}=A^1=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}.

En el caso A^{20}, 20 dividido por 2 tiene cociente 10 y resto 0, luego

A^{20}=A^0=I

b) Para resolver la ecuación matricial 6X=B-3AX, comenzamos por despejar la matriz X:

6X=B-3AX~;\\\\6X+3AX=B~;\\\\(6I+3A)X=B~;\\\\X=(6I+3A)^{-1}B

Observamos que B=3I, entonces podemos escribir:

X=3^{-1}(2I+A)^{-1}3I=(2I+A)^{-1}

Calculamos las matrices necesarias:

2I+A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&3&0\\1&0&2\end{pmatrix}

Recordamos que la matriz inversa de una matriz tiene la fórmula:

\boxed{M^{-1}=\dfrac1{|M|}(\mbox{Adj}M)^t}

|2I+A|=\begin{vmatrix}2&0&1\\0&3&0\\1&0&2\end{vmatrix}=12-3=9

\mbox{Adj}(2I+A)=\begin{pmatrix}6&0&-3\\0&3&0\\-3&0&6\end{pmatrix}

Luego

X=(2I+A)^{-1}=\dfrac19\begin{pmatrix}6&0&-3\\0&3&0\\-3&0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac23&0&\frac{-1}3\\0&\frac13&0\\\frac{-1}3&0&\frac23\end{pmatrix}

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