Problema 468

Dadas las matrices

A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&t&2\\3&-1&t\end{pmatrix}\qquad I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

se pide:

a) Hallar el rango de A en función de t.
b) Calcular t para que det(A-tI)=0.


Solución:

a) Calculamos el rango de A utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&2&3\\0&t&2\\3&-1&t\end{vmatrix}=t^2+12-9t+2=t^2-9t+14

determinante cuyas raíces son t=7 y t=2, luego:

  • Si t≠7 y t≠2, entonces el rango de A es 3.
  • Si t=7, entonces A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&7&2\\3&-1&7\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\0&7\end{vmatrix}=7\neq0.
  • Si t=2, entonces A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&2&2\\3&-1&2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\0&2\end{vmatrix}=2\neq0.

b) Calcular t para que det(A-tI)=0.

A-tI=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&t&2\\3&-1&t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}t&0&0\\0&t&0\\0&0&t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-t&2&3\\0&0&2\\3&-1&0\end{pmatrix}

|A-tI|=\begin{vmatrix}1-t&2&3\\0&0&2\\3&-1&0\end{vmatrix}=12+2(1-t)=-2t+14

Igualamos a 0 y resolvemos:

-2t+14=0~;\\\\t=7

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