Dado el sistema de ecuaciones lineales:
a) Discutirlo según los valores del parámetro m.
b) Resolverlo en el caso m=0.
c) Resolverlo en el caso m=2.
Solución:
a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:
determinante cuyas raíces son m=2 y m=1.
- Si m≠2 y m≠1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, por lo que el sistema es compatible determinado.
- Si m=2, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
Por lo que rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado. - Si m=1, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
Por lo que rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.
b) En el caso m=0, el sistema es compatible determinado como vimos en el apartado anterior. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:
c) En el caso m=2, el sistema es compatible indeterminado y equivalente a:
Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:
Sumando ambas ecuaciones obtenemos:
Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos y:
Por lo que la solución del sistema es .
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