Problema 469

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

$\left\{\begin{array}{rl}-mx+my+z&=0\\x-my+3z&=4\\2x-2y-z&=0\end{array}\right.$

a) Discutirlo según los valores del parámetro m.
b) Resolverlo en el caso m=0.
c) Resolverlo en el caso m=2.

Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:

$M=\begin{pmatrix}-m&m&1\\1&-m&3\\2&-2&-1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}-m&m&1&0\\1&-m&3&4\\2&-2&-1&0\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:

$\begin{vmatrix}-m&m&1\\1&-m&3\\2&-2&-1\end{vmatrix}=-m^2+6m-2+2m+m-6m=-m^2+3m-2$

determinante cuyas raíces son m=2 y m=1.

Si m≠2 y m≠1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, por lo que el sistema es compatible determinado.
Si m=2, entonces $M=\begin{pmatrix}-2&2&1\\1&-2&3\\2&-2&-1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}-2&2\\1&-2\end{vmatrix}\neq0$ .
Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}-2&2&0\\1&-2&4\\2&-2&0\end{vmatrix}=16-16=0$
Por lo que rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
Si m=1, entonces $M=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&3\\2&-2&-1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&1\\-1&3\end{vmatrix}\neq0$ .
Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}1&1&0\\-1&3&4\\-2&-1&0\end{vmatrix}=-8+4=-4\neq0$
Por lo que rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.