Problema 469

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

\left\{\begin{array}{rl}-mx+my+z&=0\\x-my+3z&=4\\2x-2y-z&=0\end{array}\right.

a) Discutirlo según los valores del parámetro m.
b) Resolverlo en el caso m=0.
c) Resolverlo en el caso m=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}-m&m&1\\1&-m&3\\2&-2&-1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}-m&m&1&0\\1&-m&3&4\\2&-2&-1&0\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:

\begin{vmatrix}-m&m&1\\1&-m&3\\2&-2&-1\end{vmatrix}=-m^2+6m-2+2m+m-6m=-m^2+3m-2

determinante cuyas raíces son m=2 y m=1.

  • Si m≠2 y m≠1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, por lo que el sistema es compatible determinado.
  • Si m=2, entonces M=\begin{pmatrix}-2&2&1\\1&-2&3\\2&-2&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-2&2\\1&-2\end{vmatrix}\neq0.
    Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}-2&2&0\\1&-2&4\\2&-2&0\end{vmatrix}=16-16=0
    Por lo que rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=1, entonces M=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&3\\2&-2&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\-1&3\end{vmatrix}\neq0.
    Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&0\\-1&3&4\\-2&-1&0\end{vmatrix}=-8+4=-4\neq0
    Por lo que rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.

b) En el caso m=0, el sistema es compatible determinado como vimos en el apartado anterior. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}0&0&1\\4&0&3\\0&-2&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&0&1\\1&0&3\\2&-2&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{-8}{-2}=4

y=\dfrac{\begin{vmatrix}0&0&1\\1&4&3\\2&0&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&0&1\\1&0&3\\2&-2&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{-8}{-2}=4

z=\dfrac{\begin{vmatrix}0&0&0\\1&0&4\\2&-2&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}0&0&1\\1&0&3\\2&-2&-1\end{vmatrix}}=0


c) En el caso m=2, el sistema es compatible indeterminado y equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}-2x+2y+z&=0\\x-2y+3z&=4\end{array}\right.

Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{rl}-2x+2y&=-\lambda\\x-2y&=4-3\lambda\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones obtenemos:

-x=4-4\lambda~;\\\\x=-4+4\lambda

Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos y:

-2(-4+4\lambda)+2y=-\lambda~;\\\\2y=-\lambda-8+8\lambda=-8+7\lambda~;\\\\y=\dfrac{-8+7\lambda}2

Por lo que la solución del sistema es (x,y,z)=(-4+4\lambda,\frac{-8+7\lambda}2,\lambda).

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