Problema 470

La recta r pasa por P(2,-1,0) y tiene vector director \vec v_r=(1,\lambda,-2); la recta s pasa por Q(1,0,-1) y tiene vector director \vec v_s=(2,4,2).

a) Calcular λ>0 para que la distancia entre r y s sea \dfrac9{\sqrt{59}}.
b) Calcular λ para que r sea perpendicular a la recta que pasa por P y Q.


Solución:

a) Observando los vectores directores de ambas rectas, vemos que ambos no son paralelos (véase la condición de paralelismo de vectores)

\dfrac12=\dfrac{\lambda}4=\dfrac{-2}2

Estas igualdades no son ciertas para ningún valor de λ, por lo que r y s no son paralelas. Utilizaremos por tanto, la formula de la distancia para dos rectas que se cruzan (que se explica aquí):

Calculamos el vector \overrightarrow{PQ}=(1,0,-1)-(2,-1,0)=(-1,1,-1)
Utilizamos la fórmula de la distancia:

d(r,s)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{PQ}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}

[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{PQ}]=\begin{vmatrix}1&\lambda&-2\\2&4&2\\-1&1&-1\end{vmatrix}=-4-2\lambda-4-8+2\lambda-2=-18

\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&\lambda&-2\\2&4&2\end{vmatrix}=2\lambda\vec\imath-4\vec\jmath+4\vec k-2\lambda\vec k-2\vec\jmath+8\vec\imath=\\\\=(8+2\lambda)\vec\imath-6\vec\jmath+(4-2\lambda)\vec k

|\vec v_r\times\vec v_s|=\sqrt{(8+2\lambda)^2+(-6)^2+(4-2\lambda)^2}=\\\\=\sqrt{64+4\lambda^2+32\lambda+36+16+4\lambda^2-16\lambda}=\sqrt{8\lambda^2+16\lambda+116}

Luego la distancia es:

d(r,s)=\dfrac{|-18|}{\sqrt{8\lambda^2+16\lambda+116}}=\dfrac{18}{\sqrt{8\lambda^2+16\lambda+116}}

Igualamos este resultado a \dfrac9{\sqrt{59}} y resolvemos:

\dfrac{18}{\sqrt{8\lambda^2+16\lambda+116}}=\dfrac9{\sqrt{59}}~;\mbox{ elevamos al cuadrado}\\\\\dfrac{324}{8\lambda^2+16\lambda+116}=\dfrac{81}{59}~;\\\\\dfrac{324\cdot59}{81}=8\lambda^2+16\lambda+116~;\\\\8\lambda^2+16\lambda-120=0~;\\\\\lambda^2+2\lambda-15=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son λ=-5 y λ=3. Como ha de ser λ>0, entonces la solución es λ=3.


b) Para que r sea perpendicular a la recta que pasa por P y Q, entonces ha de ser \vec v_r perpendicular a \overrightarrow{PQ}.
Aplicamos la condición de perpendicularidad a \vec v_r\mbox{ y }\overrightarrow{PQ}:

\vec v_r\cdot\overrightarrow{PQ}=(1,\lambda,-2)\cdot(-1,1,-1)=-1+\lambda+2=1+\lambda=0

ecuación cuya solución es λ=-1.

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