Problema 471

a) Estudiar el crecimiento de la función f(x)=1+2x+3x^2+4x^3.

b) Demostrar que la ecuación 1+2x+3x^2+4x^3=0 tiene una única solución real y localizar un intervalo de longitud 1 que la contenga.


Solución:

a) Para estudiar la monotonía de una función primero determinamos el dominio de dicha función. En nuestro caso el dominio de f es \mathbb R.
A continuación calculamos los puntos críticos de f:

f'(x)=2+6x+12x^2=0~;\\\\x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot12\cdot2}}{2\cdot12}=\dfrac{-6\pm\sqrt{-60}}{24}

como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución real y la función no tiene puntos críticos.

\begin{array}{|c|c|}\hline x&(-\infty,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Luego, f es creciente en todo su dominio.


b) Para demostrar que la ecuación 1+2x+3x^2+4x^3=0 tiene solución, utilizaremos el teorema de Bolzano.
Sabemos que f es continua en todo su dominio por tratarse de una función polinómica.
Tomamos el intervalo [-1,1].

f(-1)=-2~;\\\\f(1)=10

En virtud del teorema de Bolzano, existe un valor x=c\in(-1,1) tal que f(c)=0.
Acortamos el intervalo evaluando la función en un punto interior del intervalo [-1,1]:

f(0)=1

Luego, existe un valor x=c\in(-1,0) tal que f(c)=0.

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