a) Estudiar el crecimiento de la función .

b) Demostrar que la ecuación tiene una única solución real y localizar un intervalo de longitud 1 que la contenga.

Solución:

a) Para estudiar la monotonía de una función primero determinamos el dominio de dicha función. En nuestro caso el dominio de f es .
A continuación calculamos los puntos críticos de f:

como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución real y la función no tiene puntos críticos.

Luego, f es creciente en todo su dominio.

b) Para demostrar que la ecuación tiene solución, utilizaremos el teorema de Bolzano.
Sabemos que f es continua en todo su dominio por tratarse de una función polinómica.
Tomamos el intervalo [-1,1].

En virtud del teorema de Bolzano, existe un valor tal que .
Acortamos el intervalo evaluando la función en un punto interior del intervalo [-1,1]:

Luego, existe un valor tal que .

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