Problema 472

a) Calcular la integral definida \displaystyle\int_1^4(1-x)e^{-x}~dx.

b) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(1-x)e^{-x} y \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}(1-x)e^{-x}.


Solución:

a) Calculamos la primitiva de la función (1-x)e^{-x} utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=1-x&\longrightarrow&du=-dx\\dv=e^{-x}~dx&\longrightarrow&v=-e^{-x}\end{array}

Luego:

\displaystyle\int(1-x)e^{-x}~dx=-(1-x)e^{-x}-\int e^{-x}~dx=(x-1)e^{-x}+e^{-x}=xe^{-x}+k

Entonces la integral definida es:

\displaystyle\int_1^4(1-x)e^{-x}~dx=\left[xe^{-x}\right]_1^4=(4e^{-4})-(1e^{-1})=\dfrac{4}{e^4}-\dfrac1e=\dfrac{4-e^3}{e^4}


b) Recordamos que para las indeterminaciones \dfrac{\infty}{\infty} utilizamos la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}(1-x)e^{-x}=\infty\cdot0=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1-x}{e^x}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-1}{e^x}=\dfrac{-1}{+\infty}=0\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}(1-x)e^{-x}=+\infty\cdot+\infty=+\infty

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