Problema 473

Dada la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}a+x\ln x&\mbox{si}&x>0\\x^2e^x&\mbox{si}&x\leq0\end{array}\right.

(donde ln denota logaritmo neperiano y a es un número real) se pide:

a) Calcular el valor de a para que f sea continua en todo \mathbb R.
b) Calcular f'(x) donde sea posible.
c) Calcular \displaystyle\int_{-1}^0f(x)~dx.


Solución:

a) Las funciones parciales que forman f son continuas. Solo debemos estudiar la continuidad en x=0:

\displaystyle\bullet\lim_{x\rightarrow0^+}a+x\ln x=\lim_{x\rightarrow0^+}a+\lim_{x\rightarrow0^+}x\ln x=a+0\cdot(-\infty)=a+\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln x}{\frac1x}=\\\\=a+\underbrace{\dfrac{\infty}{\infty}}_{IND}\underset{L'H}=a+\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\frac1x}{\frac{-1}{x^2}}=a+\lim_{x\rightarrow0^+}(-x)=a

\displaystyle\bullet\lim_{x\rightarrow0^-}x^2e^x=0\cdot1=0

\bullet f(0)=0^2e^0=0

Luego, f es continua en todo \mathbb R si a=0.


b) Calcular f'(x) donde sea posible.

Calculamos la derivada de las funciones parciales:

(a+x\ln x)'=\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x +1\\\\(x^2e^x)'=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)

Luego:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln x+1&\mbox{si}&x>0\\xe^x(2+x)&\mbox{si}&x<0\end{array}\right.


c) Calcular \displaystyle\int_{-1}^0f(x)~dx.

En primer lugar resolveremos la integral indefinida:

\displaystyle\int x^2e^x~dx=\circledast

Utilizamos el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=x^2&\longrightarrow&du=2x~dx\\dv=e^x~dx&\longrightarrow&v=e^x\end{array}

\displaystyle\circledast=\int x^2e^x~dx=x^2e^x-\int 2xe^x~dx=x^2e^x-2\int xe^x~dx=\circledast

Volvemos a utilizar el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=x&\longrightarrow&du=dx\\dv=e^x~dx&\longrightarrow&v=e^x\end{array}

\displaystyle \circledast=x^2e^x-2\int xe^x~dx=x^2e^x-2\left[xe^x-\int e^x~dx\right]=x^2e^x-2xe^x+2e^x=\\\\=e^x(x^2-2x+2)+k

Por tanto, la integral definida es:

\displaystyle\int x^2e^x~dx=\Big[e^x(x^2-2x+2)+k\Big]_{-1}^0=\\\\=[e^0(0^2-2\cdot0+2)+k]-[e^{-1}((-1)^2-2(-1)+2)+k]=\\\\=2-[e^{-1}5]=2-\dfrac5e=\dfrac{2e-5}e

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