Problema 474

Dados los puntos P(-1,-1,1), Q(1,0,2) y los planos

\pi_1\equiv x-z=0,\qquad\pi_2\equiv my-6z=0,\qquad\pi_3\equiv x+y-mz=0

se pide:

a) Calcular los valores de m para los que los tres planos se cortan en una recta.
b) Para m=3, hallar la ecuación del plano que contiene al punto P y es perpendicular a la recta de intersección de los planos \pi_1\mbox{ y }\pi_2.
c) Hallar la distancia entre los puntos Q y P´, siendo P´ el punto simétrico de P respecto al plano \pi_1.


Solución:

a) Con las ecuaciones implícitas de los planos formamos un sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}x-z&=0\\my-6z&=0\\x+y-mz&=0\end{array}\right.

Obtenemos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&m&-6\\1&1&-m\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&m&-6&0\\1&1&-m&0\end{pmatrix}

Como el sistema es homogéneo, entonces rg(M*)=rg(M) para todo m.
Calculamos el rango de M:

\begin{vmatrix}1&0&-1\\0&m&-6\\1&1&-m\end{vmatrix}=-m^2+m+6

Determinante cuyas raíces son m=-2 y m=3.

Para que los tres planos se corten en una recta ha de ser rg(M)=2=rg(M*) como se explica aquí.

  • Si m≠-2 y m≠3, entonces el rango de M es 3.
  • Si m=-2, entonces M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&-2&-6\\1&1&2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&-2\end{vmatrix}=-2\neq0, y los tres planos se cortan en una recta.
  • Si m=3, entonces M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&3&-6\\1&1&-3\end{pmatrix} cuyo rango también es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&3\end{vmatrix}=3\neq0, y los tres planos también se cortan en una recta.

En resumen, para que los tres planos se corten en una recta ha de ser m=-2 o m=3.


b) Siendo m=3, la recta de intersección de los planos \pi_1\mbox{ y }\pi_2 es:

r\equiv\left\{\begin{array}{rl}x-z&=0\\3y-6z&=0\end{array}\right.

cuyo vector director es proporcional a:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&-1\\0&3&-6\end{vmatrix}=3\vec k+6\vec\jmath+3\vec\imath=(3,6,3)

es decir \vec v_r=(1,2,1).

El plano que buscamos α ha de ser perpendicular a r, por tanto, tomamos por vector normal de α, el vector director de r: \vec n_\alpha=\vec v_r=(1,2,1).
El plano α tiene la forma x+2y+z+D=0. Nos queda imponer que α pase por el punto P(-1,-1,1):

-1+2\cdot(-1)+1+D=0~;\\\\D=2

Luego, \alpha:~x+2y+z+2=0.


p120

c) Primero calculamos el punto P´ simétrico de P respecto del plano \pi_1:~x-z=0
Para ello, primero calculamos una recta s que pase por P y sea perpendicular a \pi_1, lo cual no es difícil ya que conocemos P(-1,-1,1) y el vector director de s será el vector normal de \pi_1, es decir, \vec v_s=\vec n_{\pi_1}=(1,0,-1).
Las paramétricas de s son:

\left\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda\\y=-1\\z=1-\lambda\end{array}\right.

Sustituimos las paramétricas de s en la implícita de \pi_1 para calcular el punto M:

-1+\lambda-(1-\lambda)=0~;\\\\-2+2\lambda=0~;\\\\\lambda=1

Sustituyendo en las paramétricas de s, este valor de λ, obtenemos las coordenadas del punto M(0,-1,0).
El punto M es el punto medio entre P y P´:

M=\dfrac{P+P'}2\\\\P'=2M-P=2(0,-1,0)-(-1,-1,1)=(1,-1,-1)

Ya tenemos P´, calculamos el vector \overrightarrow{P'Q}=(1,0,2)-(1,-1,-1)=(0,1,3), cuyo módulo es la distancia entre P´ y Q:

d(P',Q)=|\overrightarrow{P'Q}|=\sqrt{0^2+1^2+3^2}=\sqrt{10}\mbox{ u.l.}

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