Problema 475

Sabiendo que $\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\1&2&3\end{vmatrix}=3$ y usando las propiedades de los determinantes, calcular el valor de los siguientes determinantes:

a) $\begin{vmatrix}2a-2b&c&5b\\2d-2e&f&5e\\-2&3&10\end{vmatrix}$

b) $\begin{vmatrix}a-1&b-2&2c-6\\2&4&12\\d&e&2f\end{vmatrix}$

Solución:

Utilizaremos las propiedades de los determinantes para resolver estos problemas

$\mbox{a) }\begin{vmatrix}2a-2b&c&5b\\2d-2e&f&5e\\-2&3&10\end{vmatrix}\underset{P.5}=\begin{vmatrix}2a-2b&5b&c\\2d-2e&5e&f\\-2&10&3\end{vmatrix}\underset{P.6}=5\begin{vmatrix}2a-2b&b&c\\2d-2e&e&f\\-2&2&3\end{vmatrix}=5\begin{vmatrix}2a-2b&b&c\\2d-2e&e&f\\2-4&2&3\end{vmatrix}=\\\\\underset{P.7}=5\begin{vmatrix}2a&b&c\\2d&e&f\\2&2&3\end{vmatrix}+5\begin{vmatrix}-2b&b&c\\-2e&e&f\\-4&2&3\end{vmatrix}\underset{P.6}=10\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\1&2&3\end{vmatrix}-10\begin{vmatrix}b&b&c\\e&e&f\\2&2&3\end{vmatrix}=\\\\\underset{P.1}=10\cdot3-10\cdot0=30$

$\mbox{b) }\begin{vmatrix}a-1&b-2&2c-6\\2&4&12\\d&e&2f\end{vmatrix}\underset{P.5}=\begin{vmatrix}a-1&b-2&2c-6\\d&e&2f\\2&4&12\end{vmatrix}\underset{P.6}=2\begin{vmatrix}a-1&b-2&c-3\\d&e&f\\2&4&6\end{vmatrix}=\\\\\underset{P.6}=4\begin{vmatrix}a-1&b-2&c-3\\d&e&f\\1&2&3\end{vmatrix}\underset{P.7}=4\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\1&2&3\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}-1&-2&-3\\d&e&f\\1&2&3\end{vmatrix}\underset{P.1}=4\cdot3+4\cdot0=12$

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