Problema 476

Dada la matriz A=\begin{pmatrix}3&1\\1&0\end{pmatrix}, hallar todas las matrices B=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} que conmutan con A, es decir que cumplen AB=BA.


Solución:

Ha de ser AB=BA:

AB=\begin{pmatrix}3&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3a+c&3b+d\\a&b\end{pmatrix}\\\\BA=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3a+b&a\\3c+d&c\end{pmatrix}

Igualamos estos dos resultados:

\begin{pmatrix}3a+c&3b+d\\a&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3a+b&a\\3c+d&c\end{pmatrix}

Igualando elemento a elemento obtenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}3a+c&=3a+b\\3b+d&=a\\a&=3c+d\\b&=c\end{array}\right.

La primera y cuarta ecuaciones dan lugar a la misma ecuación b=c. Teniendo esto en cuenta, la segunda y tercera ecuaciones son iguales y de donde se deduce que d=a-3b.
La matriz B buscada es:

B=\begin{pmatrix}a&b\\b&a-3b\end{pmatrix}

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