Dada las matrices:
se pide:
a) Calcula α, β, γ para que sea solución del sistema AX=B.
b) Si β=γ=1 ¿qué condición o condiciones debe cumplir α para que el sistema lineal homogéneo AX=O sea compatible determinado?
c) Si α=-1, β=1 y γ=0, resuelve el sistema AX=B.
Solución:
a) Calcula α, β, γ para que sea solución del sistema AX=B.
Expresión que es equivalente a:
Este sistema tiene las siguientes matrices de coeficientes y ampliada:
Veamos cual es el rango de la matriz de coeficientes:
Por lo que, el rango de M es 3 y, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado. Resolveremos dicho sistema utilizando la regla de Cramer:
b) Si β=γ=1, entonces .
Para que el sistema sea compatible determinado, según el teorema de Rouché-Fröbenius, dado que n=3, ha de ser el rg(A)=3, y por tanto, el determinante de A debe ser distinto de 0:
Determinante cuyas raíces son α=0 y α=1. Por tanto, para que el sistema sea compatible determinado, ha de ser α≠0 y α≠1.
c) Si α=-1, β=1 y γ=0, resuelve el sistema AX=B.
En este caso, cuyo determinante es
, por tanto, su rango es 3 y el sistema es compatible determinado.
Dado que la matriz ampliada es , calculamos las soluciones del sistema utilizando la regla de Cramer:
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