Problema 477

Dada las matrices:

A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\gamma&0&\alpha\\1&\beta&\gamma\end{pmatrix}\quad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\quad O=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

se pide:

a) Calcula α, β, γ para que \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} sea solución del sistema AX=B.
b) Si β=γ=1 ¿qué condición o condiciones debe cumplir α para que el sistema lineal homogéneo AX=O sea compatible determinado?
c) Si α=-1, β=1 y γ=0, resuelve el sistema AX=B.


Solución:

a) Calcula α, β, γ para que \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} sea solución del sistema AX=B.

\begin{pmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\gamma&0&\alpha\\1&\beta&\gamma\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

Expresión que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}\alpha+2\beta+3\gamma&=1\\\gamma+3\alpha&=0\\1+2\beta+3\gamma&=1\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}\alpha+2\beta+3\gamma&=1\\3\alpha+\gamma&=0\\2\beta+3\gamma&=0\end{array}\right.

Este sistema tiene las siguientes matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&0&1\\0&2&3\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&2&3&1\\3&0&1&0\\0&2&3&0\end{pmatrix}

Veamos cual es el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}1&2&3\\3&0&1\\0&2&3\end{vmatrix}=18-18-2=-2\neq0

Por lo que, el rango de M es 3 y, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado. Resolveremos dicho sistema utilizando la regla de Cramer:

\alpha=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&3\\0&0&1\\0&2&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&3\\3&0&1\\0&2&3\end{vmatrix}}=\dfrac{-2}{-2}=1

\beta=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&3\\3&0&1\\0&0&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&3\\3&0&1\\0&2&3\end{vmatrix}}=\dfrac{-9}{-2}=\dfrac92

\gamma=\dfrac{\begin{vmatrix}1&2&1\\3&0&0\\0&2&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&3\\3&0&1\\0&2&3\end{vmatrix}}=\dfrac{6}{-2}=-3


b) Si β=γ=1, entonces  A=\begin{pmatrix}\alpha&1&1\\1&0&\alpha\\1&1&1\end{pmatrix}.
Para que el sistema sea compatible determinado, según el teorema de Rouché-Fröbenius, dado que n=3, ha de ser el rg(A)=3, y por tanto, el determinante de A debe ser distinto de 0:

\begin{vmatrix}\alpha&1&1\\1&0&\alpha\\1&1&1\end{vmatrix}=\alpha+1-1-\alpha^2=\alpha-\alpha^2=\alpha(1-\alpha)

Determinante cuyas raíces son α=0 y α=1. Por tanto, para que el sistema sea compatible determinado, ha de ser α≠0 y α≠1.


c) Si α=-1, β=1 y γ=0, resuelve el sistema AX=B.

En este caso, A=\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&0&-1\\1&1&0\end{pmatrix} cuyo determinante es |A|=-2, por tanto, su rango es 3 y el sistema es compatible determinado.
Dado que la matriz ampliada es (A|B)=\begin{pmatrix}-1&1&0&1\\0&0&-1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}, calculamos las soluciones del sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\0&0&-1\\1&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-1&1&0\\0&0&-1\\1&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{0}{-2}=0

y=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&1&0\\0&0&-1\\1&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-1&1&0\\0&0&-1\\1&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{-2}{-2}=1

z=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&1&1\\0&0&0\\1&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}-1&1&0\\0&0&-1\\1&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{0}{-2}=0

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