Problema 478

Dados el punto P(1,0,1), el plano \pi\equiv x+5y-6z=1, y la recta r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=0\\z=0\end{array}\right., se pide:

a) Calcular el punto P´ simétrico de P respecto de π.
b) Hallar la distancia de P a r.
c) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas O(0,0,0) y las intersecciones de π con los ejes coordenados OX, OY y OZ.


Solución:

p120a) Comenzamos calculando una recta s perpendicular a π que pase por P(1,0,1).
Por ser perpendicular a π, entonces \vec v_s=\vec n_\pi=(1,5,-6). Luego la recta s es:

s:~\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=5\lambda\\z=1-6\lambda\end{array}\right.

Dicha recta s corta al plano π en el punto M. Para calcular este punto sustituimos las paramétricas de s en la implícita del plano y resolvemos:

1+\lambda+5(5\lambda)-6(1-6\lambda)=1~;\\\\1+\lambda+25\lambda-6+36\lambda=1~;\\\\62\lambda=6~;\\\\\lambda=\dfrac3{31}

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de s obtenemos las coordenadas de M=(\frac{34}{31},\frac{15}{31},\frac{13}{31}).

El punto M es el punto medio entre P y P´, luego, utilizamos la fórmula del punto medio para calcular P´:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=(\frac{68}{31},\frac{30}{31},\frac{26}{31})-(1,0,1)=(\frac{37}{31},\frac{30}{31},\frac{-5}{31})


b) Primero obtenemos las ecuaciones paramétricas de r, haciendo el cambio y=λ:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=\lambda\\z=0\end{array}\right.

De las paramétricas vemos que la recta pasa por el punto P_r=(0,0,0) y tiene por vector director \vec v_r=(0,1,0).
La distancia de un punto a una recta es:

\boxed{d(P,r)=\dfrac{|\vec v_r\times\overrightarrow{P_rP}|}{|\vec v_r|}}

\overrightarrow{P_rP}=(1,0,1)-(0,0,0)=(1,0,1)\\\\\vec v_r\times\overrightarrow{P_rP}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0&1&0\\1&0&1\end{vmatrix}=\vec\imath-\vec k=(1,0,-1)\\\\d(P,r)=\dfrac{\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\sqrt2\mbox{ u.l.}


c) Primero calculamos los puntos de corte del plano π con los ejes:

p459A=\pi\cap\mbox{eje }x=\left\{\begin{array}{l}x+5y-6z=1\\y=0\\z=0\end{array}\right.\longrightarrow A=(1,0,0)

B=\pi\cap\mbox{eje }y=\left\{\begin{array}{l}x+5y-6z=1\\x=0\\z=0\end{array}\right.\longrightarrow B=(0,\frac15,0)

C=\pi\cap\mbox{eje }z=\left\{\begin{array}{l}x+5y-6z=1\\x=0\\y=0\end{array}\right.\longrightarrow C=(0,0,\frac{-1}6)

Calculamos los vectores que forma el origen O(0,0,0) con los puntos A, B y C:

\overrightarrow{OA}=(1,0,0)\\\overrightarrow{OB}=(0,\frac15,0)\\\overrightarrow{OC}=(0,0,\frac{-1}6)

El volumen del tetraedro formado por esos tres vectores es:

V=\dfrac16|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]|

[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&\frac15&0\\0&0&\frac{-1}6\end{vmatrix}=\dfrac{-1}{30}

Luego, el volumen es:

V=\dfrac16\cdot\dfrac1{30}=\dfrac1{180}\mbox{ u.v.}

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