Problema 479

a) Sea f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa x=-2 es un punto de inflexión de la gráfica de f y que la recta de ecuación y=16x+16 es tangente a la gráfica de f en dicho punto, determinar:

f(-2),~f'(-2)\mbox{ y }f''(-2)

b) Determinar el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función g(x)=x^4+4x^3 y el eje OX.


Solución:

a) Sabemos que en x=-2 la función f presenta un punto de inflexión, por lo que

f''(-2)=0

También sabemos que en x=-2, la recta tangente a f es y=16x+16, por lo que

f'(-2)=16

y

f(-2)=16\cdot(-2)+16=-16


b) Comenzamos calculando los puntos de corte de g con el eje OX.

x^4+4x^3=0~;\\\\x^3(x+4)=0

Las raíces de esta ecuación son x=0 y x=-4, luego, los puntos de corte tienen esas abscisas.
Podemos ya calcular el área limitada por g y el eje OX.

\displaystyle A=\Big|\int_{-4}^0x^4+4x^3~dx\Big|=\Big|\left[\dfrac{x^5}5+x^4\right]_{-4}^0\Big|=\Big|(0)-\left(\dfrac{(-4)^5}5+(-4)^4\right)\Big|=\\\\=\Big|-\dfrac{256}5\Big|=\dfrac{256}5\mbox{ u.a.}

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