Problema 480

Calcular justificadamente:

$\displaystyle a)~\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{1-2x-e^x+\mbox{sen}(3x)}{x^2}\\\\b)~\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(5x^2+2)(x-6)}{(x^2-1)(2x-1)}$

Solución:

a) Recordamos que la indeterminación del tipo 0/0 la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

$\displaystyle\boxed{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{1-2x-e^x+\mbox{sen}(3x)}{x^2}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{-2-e^x+\cos(3x)\cdot3}{2x}=\\\\=\dfrac{-2-1+3}{0}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{-e^x-\mbox{sen}(3x)\cdot3\cdot3}2=\dfrac{-1}2$

b) Recordamos que el límite del cociente de funciones polinómicas cumple:

$\displaystyle\boxed{\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\dots+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x+b_0}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{a_mx^m}{b_nx^n}}$

Luego:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(5x^2+2)(x-6)}{(x^2-1)(2x-1)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{5x^3}{2x^3}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac52=\dfrac52$

♦

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