Problema 481

Análisis matemático II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat II, ,

Dada la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}a+\ln(1-x)&\mbox{si}&x<0\\x^2e^{-x}&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.

(donde ln denota logaritmo neperiano) se pide:

a) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\mbox{ y }\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)
b) Calcular el valor de a, para que f sea continua en todo \mathbb R.
c) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f´, donde sea posible.

Solución:

a) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\mbox{ y }\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)

Recordamos que la indeterminación del tipo ∞/∞ se puede resolver utilizando la regla de L’Hôpital.

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2e^{-x}=\infty\cdot0=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x}{e^x}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac2{e^x}=\dfrac2{\infty}=0

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}a+\ln(1-x)=a+\ln(\infty)=+\infty

b) Estudiamos la continuidad de f en x=0:

  • \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}x^2e^{-x}=0\cdot1=0
  • \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}a+\ln(1-x)=a+\ln(1)=a
  • f(0)=0^2e^{-0}=0

Luego, para que f sea continua en todo \mathbb R, y en particular, en x=0, ha de ser a=0.

c) La función derivada de f es:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{-1}{1-x}&\mbox{si}&x<0\\\\2xe^{-x}-x^2e^{-x}&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

Suponiendo que a=0, veamos si esta función es derivable en x=0:

  • \displaystyle f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}2xe^{-x}-x^2e^{-x}=\lim_{x\rightarrow0^+}xe^{-x}(2-x)=0\cdot1\cdot2=0
  • \displaystyle f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{-1}{1-x}=-1

Luego, esta función es derivable para todo \mathbb R excepto para x=0.

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