Dados el plano , y la recta
, se pide:
a) Estudiar la posición relativa de r y π.
b) Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a π.
c) Determinar la recta que pasa por A(-2,1,0), corta a r, y es paralela a π.
Solución:
a) Hay varias formas de estudiar la posición entre una recta y un plano. Aquí lo haremos del siguiente modo.
Escribimos la recta en forma paramétrica haciendo el cambio z=λ, luego
Ahora sustituimos las paramétricas de r en la implícita de π, y resolvemos la ecuación:
Como la ecuación tiene solución única entonces la recta y el plano se cortan en un punto.
Si nos pidiesen calcular el punto donde se cortan, las coordenadas de dicho punto se obtienen sustituyendo el valor de λ obtenido en las paramétricas de la recta.
b) Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a π.
El plano α buscado es perpendicular a π por lo que uno de sus vectores directores será el vector normal de π:
Como el plano α contiene a r, el otro vector director de α será el vector director de r: , y ademas, pasa por cualquier punto de r, por ejemplo,
.
En forma vectorial, el plano α es:
c) Determinar la recta que pasa por A(-2,1,0), corta a r, y es paralela a π.
Construimos un plano β paralelo a π
que pase por A(-2,1,0):
Luego .
Calculamos el punto Q donde β corta a r, sustituyendo las paramétricas de r en la implícita de β, y resolviendo la ecuación:
Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos el punto
La recta buscada pasará por el punto A y por el punto Q, luego:
Luego la recta buscada en forma vectorial es:
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