Problema 482

Dados el plano \pi\equiv2x-y=2, y la recta r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1\\y-2z=2\end{array}\right., se pide:

a) Estudiar la posición relativa de r y π.
b) Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a π.
c) Determinar la recta que pasa por A(-2,1,0), corta a r, y es paralela a π.


Solución:

a) Hay varias formas de estudiar la posición entre una recta y un plano. Aquí lo haremos del siguiente modo.
Escribimos la recta en forma paramétrica haciendo el cambio z=λ, luego

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=2+2\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

Ahora sustituimos las paramétricas de r en la implícita de π, y resolvemos la ecuación:

2\cdot1-(2+2\lambda)=2~;\\\\2-2-2\lambda=2~;\\\\\lambda=-1

Como la ecuación tiene solución única entonces la recta y el plano se cortan en un punto.

p482
Si nos pidiesen calcular el punto donde se cortan, las coordenadas de dicho punto se obtienen sustituyendo el valor de λ obtenido en las paramétricas de la recta.


b) Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a π.

El plano α buscado es perpendicular a π por lo que uno de sus vectores directores será el vector normal de π: \vec n_\pi=(2,-1,0)
Como el plano α contiene a r, el otro vector director de α será el vector director de r: \vec v_r=(0,2,1), y ademas, pasa por cualquier punto de r, por ejemplo, P_r=(1,2,0).
En forma vectorial, el plano α es:

(x,y,z)=(1,2,0)+\lambda(0,2,1)+\mu(2,-1,0)


c) Determinar la recta que pasa por A(-2,1,0), corta a r, y es paralela a π.

Construimos un plano β paralelo a π

\beta:~2x-y+D=0

que pase por A(-2,1,0):

2\cdot(-2)-1+D=0~;\\\\D=5

Luego \beta:~2x-y+5=0.
Calculamos el punto Q donde β corta a r, sustituyendo las paramétricas de r en la implícita de β, y resolviendo la ecuación:

2\cdot1-(2+2\lambda)+5=0~;\\\\-2\lambda+5=0~;\\\\\lambda=\frac52

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos el punto Q(1,7,\frac52).

La recta buscada pasará por el punto A y por el punto Q, luego:

\overrightarrow{AQ}=(1,7,\frac52)-(-2,1,0)=(3,6,\frac52)

Luego la recta buscada en forma vectorial es:

(x,y,z)=(-2,1,0)+\mu(3,6,\frac52)

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