Problema 483

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II

Dada la matriz:

A=\begin{pmatrix}-1&-1&a\\-3&2&a\\0&a&-1\end{pmatrix}

se pide:

a) Halla el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa.
b) Calcular la matriz inversa A⁻¹ de A, en el caso a=2.

Solución:

a) Una matriz cuadrada tiene inversa sí y solo sí su determinante es distinto de 0.

\begin{vmatrix}-1&-1&a\\-3&2&a\\0&a&-1\end{vmatrix}=2-3a^2+3+a^2=-2a^2+5

Determinante cuyas raíces son a=\pm\sqrt{\frac52}.
Por tanto, A tendrá inversa siempre que a\neq\pm\sqrt{\frac52}.

b) En el caso a=2, la matriz es A=\begin{pmatrix}-1&-1&2\\-3&2&2\\0&2&-1\end{pmatrix}
Calculamos la matriz inversa de A con la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

|A|=-2\cdot2^2+5=-3

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}-6&-3&-6\\3&1&2\\-6&-4&-5\end{pmatrix}

Luego

A^{-1}=\dfrac1{-3}\begin{pmatrix}-6&3&-6\\-3&1&-4\\-6&2&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&2\\1&\frac{-1}3&\frac43\\2&\frac{-2}3&\frac53\end{pmatrix}

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