Problema 484

Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bolígrafos se han pagado veintidós euros. Si se compran dos cuadernos, un rotulador y seis bolígrafos, el coste es de catorce euros. Se pide:

a) Expresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costaría un rotulador.
b) Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores.


Solución:

a) Definimos x como el precio de un cuaderno, y es el precio de un rotulador y z es el precio de un bolígrafo.
A partir de los datos del enunciado se obtienen las siguientes 2 ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}5x+2y+3z&=22\\2x+y+6z&=14\end{array}\right.

Nos piden, expresar en un función de z, los valores de x e y. Para ello nos tomamos z como si fuera un parámetro y no una variable:

\left\{\begin{array}{rl}5x+2y&=22-3z\\2x+y&=14-6z\end{array}\right.

Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada de este sistema:

M=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}5&2&22-3z\\2&1&14-6z\end{pmatrix}

Vemos que |M|=1, luego el rango de M es 2 y el sistema es compatible indeterminado. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}22-3z&2\\14-6z&1\end{vmatrix}}{|M|}=22-3z-2(14-6z)=-6+9z

y=\dfrac{\begin{vmatrix}5&22-3z\\2&14-6z\end{vmatrix}}{|M|}=5(14-6z)-2(22-3z)=26-24z

Es decir, el precio de un cuaderno es igual al de 9 bolígrafos menos 6 euros, y el precio de un rotulador es 26 euros menos el precio de 24 bolígrafos.


b) Al tratarse de un sistema compatible indeterminado no podemos conocer el precio de cada artículo, aunque sí podemos escribir el precio de ciertos artículos en función de otros.
Por 8 cuadernos y 3 rotuladores tendremos que pagar:

8x+3y=8(-6+9z)+3(26-24z)=30+0z=30

Tendremos que pagar 30€.

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