Problema 485

Dada la función f(x)=\dfrac1{x+1}+\dfrac x{x+4}, se pide:

a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas.
b) Calcular f'(x) y determinar los extremos relativos de f.
c) Calcular \displaystyle\int_0^1f(x)~dx.


Solución:

a) El dominio de esta función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan los denominadores:

x+1=0\rightarrow x=-1\\x+4=0\rightarrow x=-4

Luego \mbox{Dom}f(x)=\mathbb R\smallsetminus\{-1,-4\}.

  • Asíntotas verticales:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-4^-}\dfrac1{x+1}+\dfrac x{x+4}=\dfrac{-1}3+\dfrac{-4}{0^-}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-4^+}\dfrac1{x+1}+\dfrac x{x+4}=\dfrac{-1}3+\dfrac{-4}{0^+}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}\dfrac1{x+1}+\dfrac x{x+4}=\dfrac1{0^-}+\dfrac{-1}3=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac1{x+1}+\dfrac x{x+4}=\dfrac1{0^+}+\dfrac{-1}3=+\infty
    Luego, las rectas x=-1 y x=-4 son asíntotas verticales de f.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{x+1}+\dfrac x{x+4}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{x+1}+\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac x{x+4}=\\=\dfrac1{\infty}+\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac xx=0+\lim_{x\rightarrow+\infty}1=1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1{x+1}+\dfrac x{x+4}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1{x+1}+\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac x{x+4}=\\=\dfrac1{-\infty}+\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac xx=0+\lim_{x\rightarrow-\infty}1=1
    f presenta una asíntota horizontal cuya ecuación es y=1.
  • Asíntota oblicua no tiene.

b) Calcular f'(x) y determinar los extremos relativos de f.

f'(x)=\dfrac{-1}{(x+1)^2}+\dfrac{x+4-x}{(x+4)^2}=\dfrac{-1}{(x+1)^2}+\dfrac4{(x+4)^2}

Calculamos los puntos críticos de f:

\dfrac{-1}{(x+1)^2}+\dfrac4{(x+4)^2}=0~;\\\\\dfrac4{(x+4)^2}=\dfrac1{(x+1)^2}~;\\\\4(x+1)^2=(x+4)^2~;\\\\4(x^2+2x+1)=x^2+8x+16~;\\\\4x^2+8x+4=x^2+8x+16~;\\\\3x^2-12=0~;\\\\x^2=4~;\\\\x=\pm2

Clasificamos estos puntos críticos estudiando la monotonía de f:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-4)&(-4,-2)&(-2,-1)&(-1,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&-&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Luego en x=-2 hay un máximo relativo de coordenadas (-2,f(-2))=(-2,-2), y hay un mínimo relativo en (2,f(2))=(2,\frac23).


c) Calcular \displaystyle\int_0^1\dfrac1{x+1}+\dfrac x{x+4}~dx.

Escribimos la fracción \dfrac x{x+4} en su forma cociente-resto \dfrac x{x+4}=1-\dfrac4{x+4}:

\displaystyle\int_0^1\dfrac1{x+1}+\dfrac x{x+4}~dx=\int_0^1\dfrac1{x+1}+1-\dfrac4{x+4}~dx=\\\\=\left[\ln|x+1|+x-4\ln|x+4|\right]_0^1=\\\\=(\ln2+1-4\ln5)-(\ln1+0-4\ln4)=\\\\=9\ln2-4\ln5+1=\ln\left(\frac{2^9}{5^4}\right)+1\approx0.800573

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