Problema 486

Dadas las matrices:

A=\begin{pmatrix}1&a&a\\1&a&1\\a-1&a&2\end{pmatrix}\quad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\quad O=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

se pide:

a) Determinar el valor o valores de a para los cuales no existe la matriz inversa A⁻¹.
b) Para a=-2, hallar la matriz inversa A⁻¹.
c) Para a=1, calcular todas las soluciones del sistema lineal AX=O.


Solución:

a) Una matriz no tiene inversa si su determinante vale 0:

|A|=\begin{vmatrix}1&a&a\\1&a&1\\a-1&a&2\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}1&1&a\\1&1&1\\a-1&1&2\end{vmatrix}=a(2+a-1+a-a(a-1)-2-1)=\\\\=a(2a-a^2+a-2)=a(-a^2+3a-2)

determinante cuyas raíces son a=0, a=1 y a=2. Para estos tres valores, la matriz A no tiene inversa.


b) La matriz inversa de una matriz la calculamos con la siguiente fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

Con a=-2:

|A|=(-2)(-(-2)^2+3(-2)-2)=(-2)(-4-6-2)=(-2)(-12)=24

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}-2&-5&-8\\8&-4&8\\-6&-3&0\end{pmatrix}

A^{-1}=\dfrac1{24}\begin{pmatrix}-2&8&-6\\-5&-4&-3\\-8&8&0\end{pmatrix}


c) Para a=1, se tiene A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\0&1&2\end{pmatrix} cuyo determinante vale 0.
El rango de A es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.
El sistema AX=O es:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=0\\y+2z&=0\end{array}\right.

sistema que resolvemos haciendo el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=-\lambda\\y&=-2\lambda\end{array}\right.

Es fácil obtener la solución de este sistema:

y=-2\lambda\\\\x=-\lambda-y=-\lambda-(-2\lambda)=\lambda

Es decir, la solución es (x,y,z)=(\lambda,-2\lambda,\lambda).

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