Problema 487

Dados los puntos A(2,0,-2), B(3,-4,-1), C(5,4,-3) y D(0,1,4), se pide:

a) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C.
b) Calcular el volumen del tetraedro ABCD.


Solución:

a) Dados los puntos del enunciado, el área del triángulo es

\boxed{A_t=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2}

\overrightarrow{AB}=(3,-4,-1)-(2,0,-2)=(1,-4,1)\\\overrightarrow{AC}=(5,4,-3)-(2,0,-2)=(3,4,-1)

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-4&1\\3&4&-1\end{vmatrix}=4\vec\imath+3\vec\jmath+4\vec k+12\vec k+\vec\jmath-4\vec\imath=(0,4,16)

Luego, el área del triángulo es:

A_t=\dfrac{\sqrt{0^2+4^2+16^2}}2=\dfrac{\sqrt{272}}2=2\sqrt{17}\mbox{ u.a.}


p40b) El volumen del tetraedro es:

\boxed{V_t=\dfrac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]|}6}

\overrightarrow{AD}=(0,1,4)-(2,0,-2)=(-2,1,6)

[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\begin{vmatrix}1&-4&1\\3&4&-1\\-2&1&6\end{vmatrix}=24-8+3+8+72+1=100

Luego, el volumen del tetraedro es

V_t=\dfrac{|100|}6=\dfrac{50}3\mbox{ u.v.}

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