Problema 488

Dados los planos

\pi_1\equiv 2x+z-1=0,\quad\pi_2\equiv x+z+2=0,\quad\pi_3\equiv x+3y+2z-3=0

se pide:

a) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por \pi_1\mbox{ y }\pi_2.
b) Calcular el seno del ángulo que la recta del apartado anterior forma con el plano \pi_3.


Solución:

a) La recta r determinada por \pi_1\mbox{ y }\pi_2 es:

r:~\left\{\begin{array}{lr}2x+z-1&=0\\x+z+2&=0\end{array}\right.

que escribiremos en paramétricas haciendo el cambio y=λ. (Cómo pasar a paramétricas, aquí).
Resolvemos el sistema:

r:~\left\{\begin{array}{lr}2x+z&=1\\x+z&=-2\end{array}\right.

Restando ambas ecuaciones resulta x=3.
Sustituyendo en la segunda ecuación este valor de x, resulta: z=-5, luego las ecuaciones paramétricas son:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=3\\y=\lambda\\z=-5\end{array}\right.


b) El ángulo β que una recta forma con un plano es el ángulo complementario del ángulo α que forma el vector director de la recta con el vector normal del plano.

p482

Sea el vector director de la recta r, \vec v_r=(0,1,0), y el vector normal del plano \vec n_3=(1,3,2). El ángulo que forman ambos vectores lo determinamos con la fórmula del producto escalar de vectores:

\cos\alpha=\dfrac{|\vec v_r\cdot\vec n_3|}{|\vec v_r||\vec n_3|}

donde

\vec v_r\cdot\vec n_3=(0,1,0)\cdot(1,3,2)=3\\|\vec v_r|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1\\|\vec n_3|=\sqrt{1^2+3^2+2^2}=\sqrt{14}

luego:

\cos\alpha=\dfrac3{1\cdot\sqrt{14}}

Como α y β  son complementarios, entonces,

\mbox{sen}\beta=\cos\alpha=\dfrac3{\sqrt{14}}.

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