Dados el plano π y la recta r siguientes
se pide:
a) Estudiar la posición relativa de r y π.
b) Calcular la distancia entre r y π.
c) Obtener el punto P´ simétrico de P(3,2,1) respecto del plano π.
Solución:
a) Para estudiar la posición relativa entre la recta y el plano podemos sustituir las paramétricas de la recta en la implícita del plano y resolvemos:
Es decir, que recta y plano no tienen ningún punto en común y eso solo es posible si recta y plano son paralelos.
b) La distancia entre una recta y un plano paralelos es igual a la distancia entre un punto cualquiera de la recta, y el plano. (Ver la fórmula de la distancia de un punto a un plano aquí.)
c) Obtener el punto P´ simétrico de P(3,2,1) respecto del plano π.
Construimos una recta s perpendicular a π que pase por P:
que en paramétricas resulta:
Calculamos el punto M de intersección entre la recta s y el plano π, sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano y resolviendo:
Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de s obtenemos el punto M=(1,3,-1).
Este punto M, es el punto medio entre P y P´. Aplicando la fórmula del punto medio, obtenemos el punto P´:
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