Problema 489

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, ,

Dados el plano π y la recta r siguientes

\pi\equiv 2x-y+2z+3=0,\qquad r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\y=2-2t\\z=1+t\end{array}\right.

se pide:

a) Estudiar la posición relativa de r y π.
b) Calcular la distancia entre r y π.
c) Obtener el punto P´ simétrico de P(3,2,1) respecto del plano π.

Solución:

a) Para estudiar la posición relativa entre la recta y el plano podemos sustituir las paramétricas de la recta en la implícita del plano y resolvemos:

2(1-2t)-(2-2t)+2(1+t)+3=0~;\\\\2-4t-2+2t+2+2t+3=0\\\\0t=-5\\\\0=-5

Es decir, que recta y plano no tienen ningún punto en común y eso solo es posible si recta y plano son paralelos.

b) La distancia entre una recta y un plano paralelos es igual a la distancia entre un punto cualquiera de la recta, P_r=(1,2,1) y el plano. (Ver la fórmula de la distancia de un punto a un plano aquí.)

d(r,\pi)=d(P_r,\pi)=\dfrac{|2\cdot1-2+2\cdot1+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac53\mbox{ u.l.}

p120

c) Obtener el punto P´ simétrico de P(3,2,1) respecto del plano π.

Construimos una recta s perpendicular a π que pase por P:

s:~(x,y,z)=(3,2,1)+\lambda(2,-1,2)

que en paramétricas resulta:

s:~\left\{\begin{array}{l}x=3+2\lambda\\y=2-\lambda\\z=1+2\lambda\end{array}\right.

Calculamos el punto M de intersección entre la recta s y el plano π, sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano y resolviendo:

2(3+2\lambda)-(2-\lambda)+2(1+2\lambda)+3=0~;\\\\6+4\lambda-2+\lambda+2+4\lambda+3=0~;\\\\9\lambda+9=0~;\\\\\lambda=-1

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de s obtenemos el punto M=(1,3,-1).
Este punto M, es el punto medio entre P y P´. Aplicando la fórmula del punto medio, obtenemos el punto P´:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=(2,6,-2)-(3,2,1)=(-1,4,-3)

♦

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