Dada la función:
se pide:
a) Hallar, si existe, el valor de a para que f sea continua.
b) Decidir si la función es derivable en x=0 para algún valor de a.
c) Calcular la integral , donde ln denota logaritmo neperiano.
Solución:
a) Estudiaremos la continuidad en x=0, recordando que las indeterminaciones del tipo 0/0 la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:
Por tanto, para que f sea continua en todo el dominio, y en particular en x=0, ha de ser a=3.
b) Para que una función sea derivable, primero ha de ser continua, cosa que solo se consigue con a=3.
Calculamos la función derivada de f:
y estudiamos la derivabilidad en x=0:
Luego f no es derivable en x=0 para ningún valor de a.
c) Calcular la integral , donde ln denota logaritmo neperiano.
El intervalo donde hay que calcular la integral definida, la función f toma la expresión .
Calculamos en primer lugar la integral indefinida:
Ésta última integral la hacemos por partes:
Luego
Entonces
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