Problema 490

Dada la función:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{5\mbox{ sen}x}{2x}+\dfrac12&\mbox{si}&x<0\\\\a&\mbox{si}&x=0\\\\xe^x+3&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

se pide:

a) Hallar, si existe, el valor de a para que f sea continua.
b) Decidir si la función es derivable en x=0 para algún valor de a.
c) Calcular la integral \displaystyle\int_1^{\ln5}f(x)~dx, donde ln denota logaritmo neperiano.


Solución:

a) Estudiaremos la continuidad en x=0, recordando que las indeterminaciones del tipo 0/0 la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}xe^x+3=3\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{5\mbox{ sen}x}{2x}+\dfrac12=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{5\mbox{ sen}x}{2x}+\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac12=\dfrac00+\dfrac12=\\\\\underset{L'H}=\dfrac12+\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{5\cos x}2=\dfrac12+\dfrac52=3\\\bullet~f(0)=a

Por tanto, para que f sea continua en todo el dominio, y en particular en x=0, ha de ser a=3.


b) Para que una función sea derivable, primero ha de ser continua, cosa que solo se consigue con a=3.
Calculamos la función derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{5x\cos x-5\mbox{ sen}x}{2x^2}&\mbox{si}&x<0\\\\e^x(x+1)&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

y estudiamos la derivabilidad en x=0:

\displaystyle\bullet~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}e^x(x+1)=1\\\bullet~f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{5x\cos x-5\mbox{ sen}x}{2x^2}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{5\cos x-5x\,\mbox{sen}x-5\cos x}{4x}=\\\\=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{-5x\,\mbox{sen}x}{4x}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{-5x\cos x}{4}=0

Luego f no es derivable en x=0 para ningún valor de a.


c) Calcular la integral \displaystyle I=\int_1^{\ln5}f(x)~dx, donde ln denota logaritmo neperiano.

El intervalo donde hay que calcular la integral definida, la función f toma la expresión xe^x+3.
Calculamos en primer lugar la integral indefinida:

\displaystyle \int xe^x+3~dx=\int3~dx+\int xe^x~dx

Ésta última integral la hacemos por partes:

\begin{array}{lcl}u=x&\longrightarrow&du=dx\\dv=e^x~dx&\longrightarrow&v=e^x\end{array}

Luego

\displaystyle \int3~dx+\int xe^x~dx=3x+xe^x-\int e^x~dx=3x+xe^x-e^x+k

Entonces

\displaystyle \int_1^{\ln5}xe^x+3~dx=\Big[3x+xe^x-e^x\Big]_1^{\ln5}=(3ln5+\ln5e^{\ln5}-e^{\ln5})-(3+e-e)=\\\\=3ln5+5\ln5-5-3=8\ln5-8\approx4.88

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