Problema 491

Dada la ecuación matricial

\begin{pmatrix}a&2\\3&7\end{pmatrix}\cdot B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}

donde B es una matriz cuadrada de tamaño 2×2, se pide:

a) Calcular el valor o valores de a para los que esta ecuación tiene solución.
b) Calcular B en el caso a=1.


Solución:

a) Si escribimos la ecuación matricial como AB=C, entonces B=A⁻¹C, luego, para que la ecuación tenga solución, la matriz A debe ser invertible.
Para que la matriz A sea invertible su determinante ha de ser distinto de 0:

\begin{vmatrix}a&2\\3&7\end{vmatrix}=7a-6

Determinante cuya raíz es a=6/7. Luego, para que la ecuación tenga solución, tiene que ser a≠6/7.


b) En el caso a=1, la matriz A es: \begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}
Calculamos su inversa utilizando la fórmula:

A^{-1}=\dfrac1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t

|A|=7\cdot1-6=1

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}7&-3\\-2&1\end{pmatrix}

luego

A^{-1}=\begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix}

y la matriz B es:

B=A^{-1}C=\begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&5\\-2&-2\end{pmatrix}

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