Problema 492

Estudiar el rango de la matriz:

A=\begin{pmatrix}2&-1&-3&5\\2&2&-1&a\\1&1&1&6\\3&1&-4&a\end{pmatrix}

según los valores del parámetro a.


Solución:

El rango de una matriz no cambia si permutamos filas o columnas:

\begin{pmatrix}2&-1&-3&5\\2&2&-1&a\\1&1&1&6\\3&1&-4&a\end{pmatrix}\underset{F_1\leftrightarrow F_3}\longrightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&6\\2&2&-1&a\\2&-1&-3&5\\3&1&-4&a\end{pmatrix}

El rango de una matriz no cambia si sustituimos una fila o columna por una combinación lineal de ésta con otra fila o columna. Sabiendo esto, transformaremos la matriz A en una matriz escalonada:

\begin{pmatrix}1&1&1&6\\2&2&-1&a\\2&-1&-3&5\\3&1&-4&a\end{pmatrix}\rightarrow\left\{\begin{array}{c}F_2-2F_1\rightarrow F_2\\F_3-2F_1\rightarrow F_3\\F_4-3F_1\rightarrow F_4\end{array}\right\}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&6\\0&0&-3&a-12\\0&-3&-5&-7\\0&-2&-7&a-18\end{pmatrix}\rightarrow\\\underset{F_3\leftrightarrow F_2}\longrightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&6\\0&-3&-5&-7\\0&0&-3&a-12\\0&-2&-7&a-18\end{pmatrix}\rightarrow\{3F_4-2F_2\rightarrow F_4\}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&6\\0&-3&-5&-7\\0&0&-3&a-12\\0&0&-11&3a-40\end{pmatrix}\rightarrow\\\rightarrow\{3F_4-11F_3\rightarrow F_4\}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&6\\0&-3&-5&-7\\0&0&-3&a-12\\0&0&0&-2a+12\end{pmatrix}

El rango de A coincide con el rango de esta matriz escalonada.
El rango de esta matriz escalonada es igual que el número de filas que contenga elementos distintos de 0. El último elemento de la diagonal principal podría ser 0 si:

-2a+12=0~;\\\\a=6

Por tanto, si a≠6 entonces el rango de A es 4, Si a=6, el rango de A es 3.

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