Problema 493

a) Plantee, sin resolver, las restricciones de este problema e indique la función a optimizar:
“Un ganadero alimenta a sus ovejas con maíz y pienso. Cada kilogramo de maíz aporta 600 g de hidratos de carbono y 200 g de proteínas, mientras que cada kilogramo de pienso aporta 300 g de hidratos de carbono y 600 g de proteínas. Cada oveja necesita diariamente 1800 g de hidratos de carbono y 2400 g de proteínas. Si 1 kg de maíz cuesta 0.50 euros y 1 kg de pienso cuesta 0.25 euros, calcule cuántos kilogramos de cada producto tendría que comprar el ganadero para alimentar cada día a una oveja con un gasto mínimo.”

b) Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices

x\geq0\qquad x\leq2y+2\qquad x+y\leq5

Calcule el máximo de F(x,y)=4x+3y en ese recinto, así como el punto donde se alcanza.


Solución:

a) Sea x el número de kilogramos de maíz e y el número de kilogramos de pienso, construimos la siguiente tabla con las necesidades diarias de cada oveja en kilogramos:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline &\text{Maiz}&\text{Pienso}\\\hline\mbox{Hidratos de carbono}&0.6&0.3\\\hline \mbox{Proteinas}&0.2&0.6\\\hline\end{array}

Cada oveja ha de ingerir diariamente al menos 1.8 kg de hidratos de carbono, por tanto:

0.6x+0.3y\geq1.8\longrightarrow2x+y\geq6

También ha de ingerir al menos 2.4 kg de proteínas:

0.2x+0.6y\geq2.4\longrightarrow x+3y\geq12

Además, tenemos las restricciones naturales:

x\geq0\\y\geq0


b) Dadas las restricciones

x\geq0\qquad x\leq2y+2\qquad x+y\leq5

la región pedida es la siguiente

p493

Calculamos los vértices de la región resolviendo los siguientes sistemas:

  • Cálculo del vértice A:
    \left\{\begin{array}{l}x=0\\y=5-x\end{array}\right.\longrightarrow A=(0,5)
  • Cálculo del vértice B:
    \left\{\begin{array}{l}x=2y+2\\y=5-x\end{array}\right.\longrightarrow B=(4,1)
  • Cálculo del vértice C:
    \left\{\begin{array}{l}x=2y+2\\x=0\end{array}\right.\longrightarrow C=(0,-1)

Evaluamos las coordenadas de los vértices en la función F(x,y)=4x+3y:

  • F(A)=F(0,5)=4\cdot0+3\cdot5=15
  • F(B)=F(4,1)=4\cdot4+3\cdot1=19
  • F(C)=F(0,-1)=4\cdot0+3\cdot(-1)=-3

El punto donde F alcanza su valor máximo es B=(4,1).

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