Problema 493

a) Plantee, sin resolver, las restricciones de este problema e indique la función a optimizar:
«Un ganadero alimenta a sus ovejas con maíz y pienso. Cada kilogramo de maíz aporta 600 g de hidratos de carbono y 200 g de proteínas, mientras que cada kilogramo de pienso aporta 300 g de hidratos de carbono y 600 g de proteínas. Cada oveja necesita diariamente 1800 g de hidratos de carbono y 2400 g de proteínas. Si 1 kg de maíz cuesta 0.50 euros y 1 kg de pienso cuesta 0.25 euros, calcule cuántos kilogramos de cada producto tendría que comprar el ganadero para alimentar cada día a una oveja con un gasto mínimo.»

b) Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices

Calcule el máximo de en ese recinto, así como el punto donde se alcanza.


Solución:

a) Sea x el número de kilogramos de maíz e y el número de kilogramos de pienso, construimos la siguiente tabla con las necesidades diarias de cada oveja en kilogramos:

Cada oveja ha de ingerir diariamente al menos 1.8 kg de hidratos de carbono, por tanto:

También ha de ingerir al menos 2.4 kg de proteínas:

Además, tenemos las restricciones naturales:


b) Dadas las restricciones

la región pedida es la siguiente

Calculamos los vértices de la región resolviendo los siguientes sistemas:

  • Cálculo del vértice A:
  • Cálculo del vértice B:
  • Cálculo del vértice C:

Evaluamos las coordenadas de los vértices en la función :

El punto donde F alcanza su valor máximo es B=(4,1).

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