Problema 494

La función de costes de una empresa se puede determinar mediante la expresión f(x)=40-6x+x^2, para x\geq0, donde x representa la cantidad producida de un determinado artículo.

a) ¿Disminuye el coste alguna vez? Determine la cantidad producida de dicho artículo cuando el coste es mínimo y cuál es dicho coste.
b) ¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo? Si el coste fuese 80, ¿cuántas serían las unidades producidas?
c) Represente gráficamente la función.


Solución:

a) Nos preguntan si la función coste es decreciente en algún intervalo del dominio, y cuál es dicho intervalo.
El crecimiento de una función se determina estudiando la monotonía de una función.
Primero calculamos los puntos críticos de la función:

f'(x)=-6+2x~;\\\\-6+2x=0~;\\\\x=3

Dado que el dominio de esta función es [0,+∞), podemos construir la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,3)&(3,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Observamos que la función decrece en el intervalo (0,3). Además, el coste es mínimo para cuando se producen 3 artículos, y el coste es en ese caso f(3)=31.


b) Si no se produjese ningún artículo, el coste sería

f(0)=40

Si el coste es de 80, la cantidad de productos producidos sería:

f(x)=80~;\\\\40-6x+x^2=80~;\\\\x^2-6x-40=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=10 y x=-4.
La segunda solución no es válida ya que no pertenece al dominio de la función, luego, se han producido 10 artículos.


c) La función f(x)=40-6x+x^2 es una función elemental cuadrática cuya representación gráfica es una parábola convexa, con un mínimo en el punto (3,31) y que corta al eje de ordenadas en el punto (0,40):

p494

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