Problema 497

Se consideran las matrices A=\begin{pmatrix}-1&0\\1&2\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\end{pmatrix}.

a) ¿Se verifica la igualdad (A+B)^2=A^2+B^2+2AB?
b) Resuelva la ecuación matricial XA=2B^t+I_2


Solución:

a) En principio,

(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+B^2+AB+BA

pero en el caso de que las matrices A y B conmuten, es decir, que AB=BA, será (A+B)^2=A^2+B^2+2AB, y en caso de que no conmuten, no se verifica la igualdad.
Veamos si A y B conmutan:

AB=\begin{pmatrix}-1&0\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-1\\2&-1\end{pmatrix}\\\\BA=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\-1&-2\end{pmatrix}

Como las matrices no conmutan entonces no se verifica la igualdad propuesta.


b) Despejamos X de la ecuación matricial:

XA=2B^t+I_2~;\\\\X=(2B^t+I_2)A^{-1}

de donde

2B^t+I_2=2\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\2&-1\end{pmatrix}

Y la matriz inversa de A es:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}-1&0\\1&2\end{vmatrix}=-2

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&-1\end{pmatrix}

luego

A^{-1}=\dfrac1{-2}\begin{pmatrix}2&0\\-1&-1\end{pmatrix}

Entonces

X=(2B^t+I_2)A^{-1}=\begin{pmatrix}5&0\\2&-1\end{pmatrix}\dfrac1{-2}\begin{pmatrix}2&0\\-1&-1\end{pmatrix}=\dfrac1{-2}\begin{pmatrix}10&0\\5&1\end{pmatrix}

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