Problema 498

Sea la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^3+ax^2&\mbox{si}&x<1\\\\bx+\dfrac2x&\mbox{si}&x\geq1\end{array}\right.

a) Calcule los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en x=1.
b) Para b=3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa x=2.


Solución:

a) Veamos para que valores de a y b esta función es continua en x=1:

  • \displaystyle\lim_{x\rightarrow1^+}bx+\dfrac2x=b+2
  • \displaystyle\lim_{x\rightarrow1^-}x^3+ax^2=1+a
  • f(1)=b\cdot1+\dfrac21=b+2

Ha de ser, por tanto, b+2=1+a

Estudiemos la derivabilidad:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}3x^2+2ax&\mbox{si}&x<1\\\\b-\dfrac2{x^2}&\mbox{si}&x>1\end{array}\right.

  • \displaystyle f'(1^+)=\lim_{x\rightarrow1^+}b-\dfrac2{x^2}=b-2
  • \displaystyle f'(1^-)=\lim_{x\rightarrow1^-}3x^2+2ax=3+2a

Por lo que se tiene que cumplir b-2=3+2a.
Uniendo las dos ecuaciones obtenidas, obtenemos el sistema

\left\{\begin{array}{rl}b+2&=1+a\\b-2&=3+2a\end{array}\right.

cuya solución es a=-6, b=-7.


b) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso, x_0=2 y la función a utilizar es f(x)=3x+\dfrac2x.

f(2)=6+1=7\\f'(x)=3-\dfrac2{x^2}\rightarrow f'(2)=3-\dfrac24=\dfrac52

luego, la recta tangente es:

y-7=\dfrac52(x-2)~;\\\\y=\dfrac52x-5+7~;\\\\y=\dfrac52x+2

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