Problema 499

Un campus universitario dispone de 3000 plazas numeradas de aparcamiento para vehículos, distribuidas en tres zonas A, B y C. La zona A está constituida por las plazas del 1 al 1500, estando 1350 de ellas protegidas del sol. La zona B la conforman las plazas numeradas desde 1501 a 2500, estando el 80% protegidas del sol. La zona C contiene las plazas numeradas desde 2501 hasta 3000, estando solamente 250 protegidas del sol. Aleatoriamente se elige una de las plazas de aparcamiento del campus.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté en la zona A o en la B?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no esté protegida del sol?
c) Si se ha elegido una plaza protegida del sol, ¿cuál es la probabilidad de que esté ubicada en la zona B?


Solución:

Definimos los sucesos A “estar aparcado en el aparcamiento A“, B “estar aparcado en el aparcamiento B“, C “estar aparcado en el aparcamiento C” y P “estar protegido del sol”.
Por otro lado, 1500 de las 3000 plazas corresponden al aparcamiento A, es decir 1 de cada 2, 1000 de las 3000 plazas, 1 de cada 3 son del aparcamiento B y las 500 restantes, 1 de cada 6, corresponden al aparcamiento C.
Con estos datos construimos el siguiente diagrama de árbol:

p499

a) La probabilidad de que una plaza corresponda a la zona A o B es:

P[A\cup B]=P[A]+P[B]=\dfrac12+\dfrac13=\dfrac56

ya que los sucesos A y B son incompatibles: P[A\cap B]=0.


b) La probabilidad de que una plaza escogida al azar no esté protegida por del sol:

\begin{array}{rl}P[\overline P]&=P[A]\cdot P[\overline P/A]+P[B]\cdot P[\overline P/B]+P[C]\cdot P[\overline P/C]=\\\\&=\frac12\cdot0.1+\frac13\cdot0.2+\frac16\cdot0.5=0.2\end{array}


c) Para calcular esta probabilidad condicionada utilizamos el teorema de Bayes.

P[B/P]=\dfrac{P[B]\cdot P[P/B]}{P[P]}

siendo P[P]=1-P[\overline P]=1-0.2=0.8. Luego:

P[B/P]=\dfrac{\frac13\cdot0.8}{0.8}=\dfrac13

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