Problema 500

En un estudio sobre la utilización de nuevas tecnologías entre los estudiantes de Bachillerato, se ha realizado una encuesta a 500 estudiantes elegidos mediante muestreo aleatorio simple, resultando que 380 de ellos son usuarios de una determinada red social.

a) Calcule un intervalo de confianza al 97% para la proporción de estudiantes que son usuarios de esa red social.
b) Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, determine el número mínimo de estudiantes a los que sería preciso entrevistar para que, con un nivel de confianza del 96%, el error cometido al estimar la proporción de usuarios de la citada red social no supere el 2%.

Solución:

a) Para calcular el intervalo de confianza para la proporción utilizamos la fórmula:

$\left(p-z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n},p+z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n}\right)$

siendo p la proporción de usuarios de la red social en la muestra: $p=\dfrac{380}{500}=0.76$ , y q=1-p.
A un nivel de confianza del 97% le corresponde $z_{\alpha/2}=2.17$ , luego el intervalo de confianza es:

$\left(0.76-2.17\cdot\sqrt{\dfrac{0.76(1-0.76)}{500}},(0.76-2.17\cdot\sqrt{\dfrac{0.76(1-0.76)}{500}}\right)=\\\\=(0.76-0.0414,0.76+0.0414)=(0.7186,0.8014)$

b) Para un nivel de confianza del 96%, tenemos $z_{\alpha/2}=2.054$ .
El error cometido al estimar la proporción es: $E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n}$ . Un error del 2% sería E=0.02, por tanto, el número de estudiantes debe ser: