Problema 500

En un estudio sobre la utilización de nuevas tecnologías entre los estudiantes de Bachillerato, se ha realizado una encuesta a 500 estudiantes elegidos mediante muestreo aleatorio simple, resultando que 380 de ellos son usuarios de una determinada red social.

a) Calcule un intervalo de confianza al 97% para la proporción de estudiantes que son usuarios de esa red social.
b) Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, determine el número mínimo de estudiantes a los que sería preciso entrevistar para que, con un nivel de confianza del 96%, el error cometido al estimar la proporción de usuarios de la citada red social no supere el 2%.


Solución:

a) Para calcular el intervalo de confianza para la proporción utilizamos la fórmula:

\left(p-z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n},p+z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n}\right)

siendo p la proporción de usuarios de la red social en la muestra: p=\dfrac{380}{500}=0.76, y q=1-p.
A un nivel de confianza del 97% le corresponde z_{\alpha/2}=2.17, luego el intervalo de confianza es:

\left(0.76-2.17\cdot\sqrt{\dfrac{0.76(1-0.76)}{500}},(0.76-2.17\cdot\sqrt{\dfrac{0.76(1-0.76)}{500}}\right)=\\\\=(0.76-0.0414,0.76+0.0414)=(0.7186,0.8014)


b) Para un nivel de confianza del 96%, tenemos z_{\alpha/2}=2.054.
El error cometido al estimar la proporción es: E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n}. Un error del 2% sería E=0.02, por tanto, el número de estudiantes debe ser:

0.02=2.054\cdot\sqrt{\dfrac{0.76\cdot0.24}n}~;\\\\0.009737=\sqrt{\dfrac{0.76\cdot0.24}n}~;\\\\9.48\cdot10^{-5}=\dfrac{0.1824}n~;\\\\n=1924.5

Es decir, que hay que entrevistar a al menos 1925 estudiantes.

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