Problema 501

Sea el siguiente sistema de inecuaciones:

x+2y\leq11\qquad x\geq2y-5\qquad3x+y\leq18\qquad x\geq0\qquad y\geq0

a) Represente gráficamente la región que definen y calcule sus vértices.
b) Halle los puntos de esa región en los que la función F(x,y)=2x+3y alcanza los valores máximo y mínimo y calcule dichos valores.
c) Justifique si el punto (5.5,2) pertenece a la región factible.


Solución:

a) Escribimos las ecuaciones explícitas de las rectas para representar fácilmente la región factible:

\left\{\begin{array}{l}x+2y\leq11\longrightarrow y\leq\dfrac{11-x}2\\x\geq2y-5\longrightarrow y\leq\dfrac{x+5}2\\3x+y\leq18\longrightarrow y\leq18-3x\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Representamos las 5 rectas y la región sombreada es la que cumple las restricciones:

p501

Calculamos los vértices resolviendo los sistemas:

A=\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.\longrightarrow A=(0,0)\\B=\left\{\begin{array}{l}x=0\\x=2y-5\end{array}\right.\longrightarrow B=(0,2.5)\\C=\left\{\begin{array}{l}x=2y-5\\x+2y=11\end{array}\right.\longrightarrow C=(3,4)\\D=\left\{\begin{array}{l}3x+y=18\\x+2y=11\end{array}\right.\longrightarrow D=(5,3)\\E=\left\{\begin{array}{l}3x+y=18\\y=0\end{array}\right.\longrightarrow E=(6,0)


b) Evaluamos la función F(x,y)=2x+3y en cada vértice:

F(A)=F(0,0)=2\cdot0+3\cdot0=0\\F(B)=F(0,2.5)=7.5\\F(C)=F(3,4)=18\\F(D)=F(5,3)=19\\F(E)=F(6,0)=12

El valor máximo de F se alcanza en el vértice D con un valor de 19 y el valor mínimo en el vértice A con un valor de 0.


c) El punto (5.5,2) pertenecerá a la región factible si verifica todas las restricciones:

  • x+2y\leq11\rightarrow5.5+2\cdot2\leq11 ✔️
  • x\geq2y-5\rightarrow5.5\geq2\cdot2-5 ✔️
  • 3x+y\leq18\rightarrow3\cdot5.5+2\leq18 ✖️

Luego, el punto (5.5,2) no pertenece a la región factible.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s