Problema 501

Sea el siguiente sistema de inecuaciones:

$x+2y\leq11\qquad x\geq2y-5\qquad3x+y\leq18\qquad x\geq0\qquad y\geq0$

a) Represente gráficamente la región que definen y calcule sus vértices.
b) Halle los puntos de esa región en los que la función $F(x,y)=2x+3y$ alcanza los valores máximo y mínimo y calcule dichos valores.
c) Justifique si el punto (5.5,2) pertenece a la región factible.

Solución:

a) Escribimos las ecuaciones explícitas de las rectas para representar fácilmente la región factible:

$\left\{\begin{array}{l}x+2y\leq11\longrightarrow y\leq\dfrac{11-x}2\\x\geq2y-5\longrightarrow y\leq\dfrac{x+5}2\\3x+y\leq18\longrightarrow y\leq18-3x\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.$

Representamos las 5 rectas y la región sombreada es la que cumple las restricciones:

p501

Calculamos los vértices resolviendo los sistemas:

$A=\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.\longrightarrow A=(0,0)\\B=\left\{\begin{array}{l}x=0\\x=2y-5\end{array}\right.\longrightarrow B=(0,2.5)\\C=\left\{\begin{array}{l}x=2y-5\\x+2y=11\end{array}\right.\longrightarrow C=(3,4)\\D=\left\{\begin{array}{l}3x+y=18\\x+2y=11\end{array}\right.\longrightarrow D=(5,3)\\E=\left\{\begin{array}{l}3x+y=18\\y=0\end{array}\right.\longrightarrow E=(6,0)$