Problema 502

El consumo de cereales en una ciudad, en miles de toneladas, viene dado por la función c(t)=t^3-15t^2+63t+10, para 0\leq t\leq12, donde t representa el tiempo.

a) ¿En qué instante se alcanza el máximo consumo de cereales y cuántas toneladas se consumen en ese momento?
b) ¿En qué intervalo de tiempo decrece el consumo de cereales?
c) Represente gráficamente la función.


Solución:

a) Calculamos los puntos críticos de la función c(t):

c'(t)=3t^2-30t+63=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son t=3 y t=7. Para determinar si estos puntos críticos corresponden a máximos o a mínimos utilizamos el test de la derivada segunda:

c''(t)=6t-30\\c''(3)=-12<0\qquad\rightarrow\text{m\'aximo}\\c''(7)=12>0\qquad\rightarrow\text{m\'inimo}

luego el máximo se alcanza para t=3. Los miles de toneladas consumidas en ese momento son:

c(3)=3^3-15\cdot3^2+63\cdot3+10=91

Evaluamos el consumo en los extremos del intervalo:

c(0)=10\\c(12)=334

Luego el máximo consumo es de 334 mil toneladas para t=12. En t=3 tenemos un máximo local.


b) Estudiamos la monotonía de esta función polinómica utilizando los puntos críticos calculados en el apartado anterior:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline t&(0,3)&(3,7)&(7,12)\\\hline\mbox{Signo }c'(t)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }c(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

El consumo de cereales decrece en el intervalo (3,7).


c) Sabemos que:

c(0)=10\\c(12)=334

así como las coordenadas del máximo local y el mínimo:

c(3)=91\\c(7)=59

Con estos puntos y teniendo en cuenta la monotonía estudiada anteriormente, podemos esbozar una gráfica semejante a la siguiente figura:

p502

Más problemas de funciones.

Deja un comentario