Problema 502

El consumo de cereales en una ciudad, en miles de toneladas, viene dado por la función c(t)=t^3-15t^2+63t+10, para 0\leq t\leq12, donde t representa el tiempo.

a) ¿En qué instante se alcanza el máximo consumo de cereales y cuántas toneladas se consumen en ese momento?
b) ¿En qué intervalo de tiempo decrece el consumo de cereales?
c) Represente gráficamente la función.


Solución:

a) Calculamos los puntos críticos de la función c(t):

c'(t)=3t^2-30t+63=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son t=3 y t=7. Para determinar si estos puntos críticos corresponden a máximos o a mínimos utilizamos el test de la derivada segunda:

c''(t)=6t-30\\c''(3)=-12\\c''(7)=12

luego el máximo se alcanza para t=3. Las toneladas consumidas en ese momento son:

c(3)=3^3-15\cdot3^2+63\cdot3+10=91


b) Estudiamos la monotonía de esta función polinómica utilizando los puntos críticos calculados en el apartado anterior:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline t&(0,3)&(3,7)&(7,12)\\\hline\mbox{Signo }c'(t)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }c(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

El consumo de cereales decrece en el intervalo (3,7).


c) Calculamos los valores de la función c(t)=t^3-15t^2+63t+10 en los extremos del dominio 0\leq t\leq12:

c(0)=10\\c(12)=334

Así como las coordenadas del máximo local y el mínimo:

c(3)=91\\c(7)=59

Con estos puntos y teniendo en cuenta la monotonía estudiada anteriormente, podemos esbozar una gráfica semejante a la siguiente figura:

p502

Más problemas de funciones.

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