Problema 503

En una localidad, el 25% de los habitantes asiste periódicamente a la consulta del dentista, el 10% se hace analítica y el 8% hace ambas cosas.

a) Razone si los sucesos “asistir a la consulta del dentista” y “hacerse una analítica” son independientes.
b) ¿Qué porcentaje de habitantes ni se hace una analítica ni va al dentista?
c) Si elegimos un habitante al azar de esa localidad de entre los que no van al dentista, ¿cuál es la probabilidad de que se haga una analítica?


Solución:

a) Sea D el suceso “asistir a la consulta del dentista” y sea A el suceso “hacerse una analítica”.
A partir del enunciado conocemos las siguientes probabilidades:

\bullet~P[D]=0.25\\\bullet~P[A]=0.10\\\bullet~P[D\cap A]=0.08

Los sucesos mencionados son independientes si

\boxed{P[D]\cdot P[A]=P[D\cap A]}

pero:

P[D]\cdot P[A]=0.25\cdot0.1=0.025\neq P[D\cap A]

luego, ambos sucesos no son independientes.


b) Nos piden P[\overline D\cap\overline A]. Usando una de las leyes de Morgan:

P[\overline D\cap\overline A]=P[\overline{D\cup A}]=1-P[D\cup A]=\\\\=1-\Big(P[D]+P[A]-P[D\cap A]\Big)=\\\\=1-P[D]-P[A]+P[D\cap A]=\\\\=1-0.25-0.1+0.08=0.73

Es decir, la probabilidad de hallar a alguien que ni se haga analíticas ni vaya regularmente al dentista es del 73%.


c) La probabilidad que nos piden es P[A/\overline D]. Según la definición de probabilidad condicionada:

P[A/\overline D]=\dfrac{P[A\cap\overline D]}{P[\overline D]}=\dfrac{P[A]-P[A\cap D]}{1-P[D]}=\\\\=\dfrac{0.1-0.08}{1-0.25}=\dfrac{0.02}{0.75}=\boxed{\dfrac2{75}}

Más problemas de probabilidad.

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