Problema 504

En una zona escolar formada por tres centros de secundaria, se desea estimar la proporción del alumnado que lleva teléfono móvil al instituto. Se toma una muestra aleatoria simple de 121 estudiantes, de los cuales 74 lo llevan.

a) Determine un intervalo de confianza al 97% para la proporción de este alumnado que lleva el móvil al instituto. ¿Entre qué dos porcentajes varía esa proporción a ese nivel de confianza?
b) Si con la misma muestra se disminuye el nivel de confianza, ¿qué efecto tendrá esta disminución en el error de estimación?
c) Si en la misma zona se elige mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional otra muestra de 121 estudiantes, considerando que el segundo centro escolar tiene el doble de alumnos que el primero y el tercero tiene el triple que el primero, ¿cuántos alumnos de cada centro se deben tomar para constituir la muestra?


Solución:

a) El intervalo de confianza para la proporción tiene la forma:

(p-E,p+E)

siendo p=\dfrac{74}{121}=0.6116 la proporción de la muestra de alumnos que llevan móvil al instituto. El error es E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}.
Para un nivel de confianza del 97%, tenemos z_{\alpha/2}=2.17, luego

E=2.17\sqrt{\dfrac{0.6116(1-0.6116)}{121}}=0.0961

Luego, el intervalo de confianza es: (0.5155,0.7077), cuyos porcentajes son 51.55% y 70.77%.


b) Según la expresión del error, E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}, y sabiendo que z_{\alpha/2} decrece con el nivel de confianza, entonces el error también disminuye con el nivel de confianza.


c) Del primer centro tomaremos una muestra de x individuos. Del segundo centro al tener doble población, tomaremos una muestra de 2x, y del tercer centro, por la misma razón, tomaremos una muestra de 3x.
La muestra total ha de tener 121 individuos, luego:

x+2x+3x=121

ecuación cuya solución es x=20.16, de donde 2x=40.33 y 3x=60.5. Necesitamos que estos resultados sean enteros. De entre todas las soluciones posibles nos quedamos con la que mejor se aproxima: 20 para el primer centro, 40 para el segundo centro y 61 para el tercer centro.

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