Problema 505

Sean las matrices A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&0\end{pmatrix}.

a) Calcule A²⁰¹⁸+A²⁰¹⁹
b) Resuelva la ecuación matricial XA+BB^t=2A


Solución:

a) Calculamos las potencias de A:

A^2=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I

luego, A^n=A^R siendo R el resto de la división entera \dfrac n2.
Como \dfrac{2018}2 tiene resto 0, y \dfrac{2019}2 tiene resto 1, entonces

A^{2018}+A^{2019}=A^0+A^1=I+A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}


b) Despejamos la matriz X de la ecuación matricial:

XA+BB^t=2A~;\\\\XA=2A-BB^t~;\\\\X=(2A-BB^t)A^{-1}

Como A^2=I=AA, y como I=AA^{-1}, entonces A^{-1}=A. Luego

X=(2A-BB^t)A=2A^2-BB^tA=2I-BB^tA

Calculamos las matrices necesarias:

BB^t=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\2&5\end{pmatrix}

BB^tA=\begin{pmatrix}2&2\\2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\7&-5\end{pmatrix}

Luego

X=2I-BB^tA=2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&-2\\7&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&2\\-7&7\end{pmatrix}

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