Problema 506

El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años viene dado por la expresión

B(t)=\left\{\begin{array}{ccc}-0.04t^2+2.4t&\mbox{si}&0\leq t<40\\\\\dfrac{40t-320}t&\mbox{si}&40\leq t\leq 50\end{array}\right.

donde t es el tiempo transcurrido.

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función B(t) en el intervalo [0,50].
b) Estudie la monotonía de la función B(t) y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
c) Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.


Solución:

a) Estudiamos en primer lugar la continuidad en t=40:

  • \displaystyle\lim_{t\rightarrow40^+}\dfrac{40t-320}t=32
  • \displaystyle\lim_{t\rightarrow40^-}-0.04t^2+2.4t=32
  • f(40)=\dfrac{40\cdot 40-320}{40}=32

Esta función es continua en t=40, dado que los tres valores son iguales. Veamos si también es derivable (recordar la tabla de derivadas):

B'(t)=\left\{\begin{array}{ccc}-0.08t+2.4&\mbox{si}&0<t<40\\\\\dfrac{320}{t^2}&\mbox{si}&40<t<50\end{array}\right.

  • \displaystyle f'(40^+)=\lim_{t\rightarrow40^+}\dfrac{320}{t^2}=0.2
  • \displaystyle f'(40^-)=\lim_{t\rightarrow40^-}-0.08t+2.4=-0.8

No es, por tanto, derivable en t=40.


b) Para estudiar la monotonía de la función B, comenzamos por calcular sus puntos críticos:

  • \dfrac{320}{t^2}=0\rightarrow\nexists t
  • -0.08t+2.4=0\rightarrow t=30

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline t&(0,30)&(30,40)&(40,50)\\\hline\mbox{Signo }B'(t)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }B(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

En t=30 observamos un máximo local cuyo beneficio asciende a B(30)=-0.04\cdot30^2+2.4\cdot30=36 en miles de euros.
Calculamos el valor del beneficio en t=50: B(50)=33.6 que es inferior al valor del beneficio en t=30.


c) La función a trozos B está compuesta de dos funciones elementales.
Entre t=0 y t=40 tenemos una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava que pasa por los puntos (0,0), (30,36) y (40,32).
Entre t=40 y t=50, tenemos una función de proporcionalidad inversa cuya gráfica es una hipérbola de asíntota vertical t=0 y de asíntota horizontal B=40, con derivada siempre positiva y por tanto creciente, es decir, que con respecto a las asíntotas ocupa los cuadrantes segundo y cuarto. De esta hipérbola solo representamos el trozo comprendido entre los puntos (40,32) y (50,33.6)

p506

El beneficio obtenido por la almazara fue creciente desde su fundación hasta el año 30 con un valor de 36000€. Entre los 30 y 40 años los beneficios disminuyeron hasta un valor de 32000€. A partir de entonces, ha habido crecimiento en los beneficios hasta alcanzar un valor de 33600€ en el año 50.

Más ejercicios de funciones.

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